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Enunciado

Física - Randall D. Knight - Eletricidade e Magnetismo- Ed: 2º - Capítulo 30.Exercícios e Problemas - Ex. 53

Para entender por que a densidade de carga e o campo elétrico são maiores nas extremidades pontiagudas de um condutor, considere duas esferas de metal com raios r 1 = R e r 2 = 2 R   . Ambas carregadas com o mesmo potencial V 0 .

  1. Qual é a razão η 1 η 2 entre suas densidades de carga superficial?
  2. Qual é a razão E 1 E 2 entre as intensidades de campo elétrico em suas superfícies?

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

Primeiro, precisamos saber qual o campo elétrico em uma esfera, certo,carinha?!

Assim, façamos pela Lei de Gauss para o fluxo elétrico:

∮ E * d A = Q ε 0

Considerando o campo eletrico constante:

E * A = Q ε 0

Sabendo que a are ade uma esfera é:

A e s f e r a = 4 π r 2

Assim:

E e s f e r a = Q ε 0 4 π r i 2

Assim temos o campo. Mas o enunciado nos dá informação do potencial, assim:

E = - ∇ V → V = - ∮ E     d s

De modo que:

V = Q ε 0 4 π r i

Passo 2

Sabendo que:

η = Q A

E tendo:

Q 1 = V 0 ε 0 4 π r 1

E

Q 2 = V 0 ε 0 4 π r 2

De modo que:

η 1 = V 0 ε 0 4 π r 1 A

E:

η 2 = V 0 ε 0 4 π r 2 A

Pede-se a razão η 1 η 2 . Logo:

η 1 η 2 = V 0 ε 0 4 π r 1 4 π r 1 2 V 0 ε 0 4 π r 2 4 π r 2 2 = r 1 r 2 r 2 2 r 1 2 = r 2 r 1 = 2 R R = 2

Passo 3

Sabemos que o campo elétrico na superfície é dado por:

E = η ε 0

Assim:

E 1 = η 1 ε 0

E

E 2 = η 2 ε 0

Pede-se E 1 E 2 .   Fazendo assim:

E 1 E 2 = η 1 ε 0 η 2 ε 0 = η 1 η 2 = 2

Resposta

Para a)

η 1 η 2 = 2

Para b)

E 1 E 2 = 2

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