Enunciado
Física - Eisberg e Resnick - Física quântica- Ed: 1º - Capítulo 5.Questões - Ex. 10
As equações de onda da física clássica contêm uma segunda derivada espacial e uma segunda derivada temporal. A equação de Schroedinger contém uma segunda derivada espacial e uma primeira derivada temporal. Use esses fatos para explicar por que as soluções das equações de onda clássica podem ser funções reais, enquanto as soluções da equação de Schroedinger devem ser funções complexas.
Passo 1
Fala galerinha, beleza?
A equação de ondas clássica é dada por
A solução mais geral dessa equação é
onde e são funções reais quaisquer. Para demonstrar isso, basta tomar a segunda derivada de com relação a e e verificar que a equação é satisfeita. O fato de termos segundas derivadas tanto espaciais como temporais explicam o porquê as soluções dessa equação são reais.
Passo 2
Já a equação de Schroedinger é dada por
Nela vemos uma segunda derivada espacial e uma primeira derivada temporal. Esse tipo de equação precisa admitir solução imaginária para fazer sentido. Para mostrar isso, vamos escrever uma equação arbitrária para uma função :
Consideremos uma solução separável:
Assim, substituindo na equação:
Usando o método de separação de variáveis para resolver equações diferenciais parciais, podemos escrever
Olhando para a equação em :
As soluções podem ser de três tipos dependendo do sinal de . Para , temos
Já para , temos
Já para :
Todas as soluções são reais!
Passo 3
Agora vamos olhar para a equação em :
A solução dessa equação é
Assim, as soluções da equação diferencial parcial são do tipo
Essa equação não assume a forma de uma onda ( ou ) se for real. Assim, a única forma de obter algo consistente com o postulado de de Broglie é se tomarmos imaginário:
Assim,
Desta forma, a única forma de encontrarmos uma solução do tipo onda senoidal para uma equação com segunda derivada espacial e primeira derivada temporal é se considerarmos soluções complexas!
Resposta
Discussão.