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Enunciado

Física - Griffiths - Mecânica Quântica- Ed: 2º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 1a

Prove os três teoremas a seguir:

  1. Para soluções normalizáveis, a constante da separação E deve ser real.

Dica: escreva E (na equação 2.7 ) como E 0 + i Γ (com E e Γ reais) e demonstre que se a equação 1.20 é válida para todos os t , então Γ deve ser zero.

Passo 1

Queremos nesse item provar que a constante E é sempre um número real, o que faz bastante sentido, já que o livro já demonstrou na equação 2.13 que essa constante representa o valor da energia do sistema.

Assim, vamos obedecer a dica dada no enunciado e vamos supor que E é um número complexo, para então, ao aplicarmos na normalização da função de onda, tirarmos alguma conclusão.

Passo 2

Sendo E = E 0 + i Γ , a solução φ ( t ) fica:

φ t = e - i E 0 + i Γ t ℏ = e - i E 0 - Γ t ℏ

Ou seja:

φ ( t ) = e Γ t ℏ   e - i E 0 t ℏ

Com isso, sendo ψ ( x ) a função de onda independente do tempo, a função de onda completa Ψ ( x , t ) fica:

Ψ x , t = ψ x φ ( t )

Então...

Ψ x , t = ψ ( x )   e Γ t ℏ   e -   i E 0 t ℏ

Passo 3

Vamos agora normalizar a função de onda completa. Para isso a integral de Ψ x , t 2 deve ser igual a 1 . Assim:

Ψ x , t 2 = Ψ *   Ψ =   ψ * x   e Γ t ℏ   e i E 0 t ℏ ∙   ψ ( x )   e Γ t ℏ   e - i E 0 t ℏ

Desenvolvendo esse cálculo, temos:

Ψ x , t 2 = | ψ x 2 |   e 2 Γ t ℏ

Assim, normalizando essa expressão, temos:

  ∫ - ∞ ∞ Ψ x , t 2 d x = 1

Então:

∫ - ∞ ∞ | ψ x 2 |   e 2 Γ t ℏ d x = 1

Assim:

e 2 Γ t ℏ   ∫ - ∞ ∞ | ψ x | 2   d x = 1

Note que o termo fora da integral é uma função do tempo, enquanto o resultado da integral é um número real. Assim, esse produto só pode ser verdadeiro se e 2 Γ t ℏ for uma constante.

E a única maneira de e 2 Γ t ℏ ser uma constante é com Γ = 0 .

Com isso, mostramos que E = E 0 , que, por hipótese, é um número real!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro