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Enunciado

Física - Alonso e Finn - Mecânica- Ed: 2º - Capítulo 13.Problemas - Ex. 14

Numa experiência de Cavendish (Fig. 13.3 ), as duas massas pequenas são iguais a 10,0   g e a barra (de massa desprezível) tem 0,50   m ele comprimento. O período das oscilações de torção desse sistema é de 770   s . As duas massas grandes são de 10,0   k g cada uma e são colocadas de modo que a distância entre os centros da esfera grande e da pequena seja de 0,10   m . Calcule a deflexão angular da barra.

Passo 1

E aí, beleza?? O torque devido às forças gravitacionais em relação ao centro da balança é:

τ g = 2 G M m d 2 L 2 = G M m L d 2  

Enquanto o torque devido à torção é:

τ t = k θ

Assim, no equilíbrio, teremos:

G M m L d 0 - L 2 θ 0 2 = k θ 0

Passo 2

Assim, resolvendo para a posição de equilíbrio, temos:

G M m L d 0 2 1 - L θ 0 2 d 0 - 2 ≈ G M m L d 0 2 1 + L θ 0 d 0 = k θ 0

Portanto:

θ 0 k + G M m L 2 d 0 3 = G M m L d 0 2

Logo:

θ 0 = G M m L d 0 2 k + G M m L 2 d 0 3 = G M m L d 0 k d 0 3 + G M m L 2

Note, portanto, que a deflexão máxima ocorre para θ = 2 θ 0 , que é quando a velocidade volta a ser nula.

Passo 3

Deslocando do equilíbrio, temos que o torque resultante é:

I δ ¨ = - k θ 0 + δ + G M m L d 0 - L 2 θ 0 - L 2 δ 2

Ou seja:

I δ ¨ = - k θ 0 + δ + G M m L d 0 - L 2 θ 0 2 1 - L 2 δ d 0 - L 2 θ 0 - 2

I δ ¨ = - k θ 0 + δ + G M m L d 0 - L 2 θ 0 2 1 - L δ d 0 - L 2 θ 0  

Portanto:

I δ ¨ = - k θ 0 - G M m L d 0 - L 2 θ 0 2 ⏝ 0 - k - G M m L 2 d 0 - L 2 θ 0 3 δ

Assim, a frequência angular do sistema é:

ω 2 = k - G M m L 2 d 0 - L 2 θ 0 3 I

Onde I = 2 m L 2 2 = 1 2 m L 2 é o momento angular da barra:

k = 2 π 2 m L 2 T 2 + G M m L 2 d 0 - L 2 θ 0 3 ≈ 2 π 2 m L 2 T 2 + G M m L 2 d 0 3

Passo 4

Numericamente, vem:

k = 8,5 × 10 - 8 N m

θ 0 = 3,84 × 10 - 3

θ m a x = 7,7 × 10 - 3 r a d ≈ 26 '

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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