A expressão para o potencial ao longo do eixo de um fino disco uniformemente carregado é dada por V = 2 π k σ z 1 + R 2 z 2 - 1 , onde R e σ são o raio e a carga por unidade de área do disco, respectivamente. Mostre que esta expressão se reduz a k Q / z para z ≫ R onde Q = σ π R 2 é a carga total no disco. Explique por que este resultado é esperado. Dica: Use o teorema binomial para expandir o radical.

Passo 1

Fala ai galera, beleza? Foi nos dado a expressão de V em função de z :

V = 2 π k σ z 1 + R 2 z 2 - 1

Queremos demonstrar que V ≈ k Q / z para z ≫ R . Note que tal resultado é esperado pois esse é o potencial elétrico de uma partícula puntiforme de carga Q : em distâncias muito maiores que R , o disco irá se assemelhar a uma carga pontual! :D

Passo 2

Lembrando no teorema binomial:

1 + x n ≈ 1 + n x

quando x ≪ 1 . Dessa forma, temos que

1 + R 2 z 2 = 1 + R 2 z 2 1 2 ≈ 1 + R 2 2 z 2

Dessa forma, temos que

V ≈ 2 π k σ z 1 + R 2 2 z 2 - 1 V = 2 π k σ z ⋅ R 2 2 z 2 V = π R 2 σ k z = Q k z

que é o que queríamos demonstrar!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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