Enunciado
Física - Fundamentos de Física - Mecânica Volume 1 - 10ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 10º - Capítulo - Ex.
31. Na Fig. 11-42, uma bola de é lançada verticalmente para cima com velocidade inicial de . Qual é o momento angular da bola em relação a P, um ponto a uma distância horizontal de do ponto de lançamento, quando a bola está (a) na altura máxima e (b) na metade do caminho de volta ao chão? Qual é o torque em relação a P a que a bola é submetida devido à força gravitacional quando está (a) na altura máxima e (b) na metade do caminho de volta ao chão?
Passo 1
O momento angular de uma partícula é sempre dado por...
Onde é a distância do ponto até a partícula, sua massa, a sua velocidade naquele ponto e é o ângulo entre a o e a velocidade. No nosso problema, essas grandezas estão desenhadas pra você aqui:
Mas repare que quando a bolinha está no ponto máximo, a velocidade dela é . Portanto, o momento angular dela nesse ponto será...
Passo 2
Quando a bolinha está voltando, ela vai estar nessa configuração aqui:
Infelizmente, quando a bolinha está na metade do caminho, não vai ser tão simples quanto no passo 1, já que temos que encontrar o valor de , e antes de determinar o valor do momento angular dela.
Primeiro, vamos encontrar a altura que ela atingiu quando ela chegou no ponto máximo. Para isso vamos usar a equação de Torricelle...
Onde é a aceleração da gravidade , menos é porque a aceleração está pra baixo, é velocidade inicial e a velocidade final. é a altura que ela atingiu...
Então essa é a altura total atingida à bola na metade do caminho então terá a velocidade pela equação de Torricelle...
Agora temos que encontrar a distância (que pode ser dada por Pitágoras):
Por último, temos que encontrar o ângulo que é a soma desse ângulo mais :
Esse ângulo é dado pela trigonometria mesmo:
Então o ângulo ...
Com isso a gente pode encontrar o módulo do momento angular:
Como ele é um vetor, pela regra da mão direita entre o vetor e , temos que o momento angular vai estar para dentro da telinha .
Passo 3
O torque é sempre dado por...
Onde é a força que a bolinha está submetida; é a distância entre o ponto e a bolinha, o ângulo entre e (mesmo ângulo no caso onde a bolinha está na metade do caminho). Para a bolinha no ponto máximo, entretanto...
Já o ângulo , ele basicamente é o mesmo ângulo do desenho anterior, por trigonometria, tiramos que, para a altura máxima:
Então...
Entrando na tela do PC, já que a força peso está para baixo.
Passo 4
Agora vamos fazer o mesmo que no passo anterior, mas usando os dados do passo 2, já que estamos falando da metade do caminho:
Então...
Também entrando na tela.