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Enunciado

Física - Fundamentos de Física Volume 3 - Eletromagnetismo - 10ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 10º - Capítulo 24.Problemas Adicionais - Ex. 98

Na Fig. 24-71, uma casca esférica de metal com carga q = 5 μ C e raio r = 3 c m está no centro de outra casca esférica de metal com carga Q = 15 μ C e raio R = 6 c m . (a) Qual a diferença de potencial entre as esferas? Se as esferas forem ligadas por um fio condutor, qual será a carga menor (b) na casca e (c) na casca maior?

Passo 1

Opa! Vamos pra mais uma questão!

Essa questão fala do potencial de duas cascas esféricas, então antes de qualquer coisa vamos lembrar qual é o potencial desse tipo de sistema, beleza?

Se pegarmos uma casca esférica de carga Q e raio R e desenharmos em volta dela uma gaussiana esférica de raio ρ > R concêntrica à casca, vamos ter o seguinte pela lei de Gauss

∮ E → ⋅ d A → = Q ϵ 0

E 4 π ρ 2 = Q ϵ 0 → E = Q 4 π ϵ 0 ρ 2

Aí a diferença de potencial entre dois pontos é dada por

Δ V = V ρ 2 - V ρ 1 = - ∫ ρ 1 ρ 2 E → ⋅ d ρ → = - Q 4 π ϵ 0 ∫ ρ 1 ρ 2 d ρ ρ 2 = Q 4 π ϵ 0 1 ρ ρ 1 ρ 2  

V ρ 2 - V ρ 1 = Q 4 π ϵ 0 ρ 2 - Q 4 π ϵ 0 ρ 1

Tomando o limite de ρ 1 → ∞ e considerando que o potencial no infinito é nulo ( V ρ 1 → ∞ = 0 ), vamos ter

V ρ = Q 4 π ϵ 0 ρ

Passo 2

E aí o potencial na superfície da esfera maior é

V m a i o r = Q 4 π ϵ 0 R

E da esfera menor é

V m e n o r = q 4 π ϵ 0 r

A diferença de potencial é dada por

Δ V = V m a i o r - V m e n o r = Q 4 π ϵ 0 R - q 4 π ϵ 0 r

Δ V = 15 × 10 - 6 4 π × 8,85 × 10 - 12 × 6 × 10 - 2 - 5 × 10 - 6 4 π × 8,85 × 10 - 12 × 3 × 10 - 2

Δ V ≈ 7,5 × 10 5   V

Passo 3

Agora vamos colocar essas duas esferas em contato por intermédio de um fio condutor.

O que vai acontecer aqui é que vai fluir carga de onde o potencial é maior até onde o potencial é menor até que as duas esferas tenham o mesmo potencial, ou seja, nesse caso aqui a carga da esfera maior vai diminuir e a da esfera menor vai aumentar até que as duas esferas tenham o mesmo potencial!

Vamos primeiro dar nome aos bois! Vamos chamar a carga final da esfera maior de Q ' e a carga final da esfera menor de q ' .

Assim se as duas esferas têm o mesmo potencial, podemos dizer que

V m a i o r = V m e n o r → Q ' 4 π ϵ 0 R = q ' 4 π ϵ 0 r

Q ' R = q ' r

Substituindo os raios dessas esferas

Q ' 6 × 10 - 2 = q ' 3 × 10 - 2 → Q ' = 2 q '

Show! Achamos uma relação entre essas duas cargas!

Passo 4

Agora vamos achar outra relação por meio da conservação da carga! Como não tiramos nem adicionamos carga nesse sistema a soma total de cargas antes e depois de colocar esses fios tem que ser a mesma! Isso significa que

Q + q = Q ' + q '

Como já temos Q e q

15 μ C + 5 μ C = Q ' + q '

Q ' + q ' = 20 μ C

Agora é só jogar a relação do passo anterior!

2 q ' + q ' = 20 μ C → q ' = 6,67   μ C

E voltado para Q '

Q ' = 13,33   μ C

Show! Terminamos mais! :D

Resposta

a) Δ V = 7,5 × 10 5 V

b) q ' = 6,67 μ C

c) Q ' = 13,33   μ C

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