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Enunciado

Física - Fundamentos de Física Volume 3 - Eletromagnetismo - 10ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 10º - Capítulo 22.2 - Ex. 16

A Fig. Abaixo mostra um anel de plástico de raio R = 50,0 cm. Duas pequenas contas coloridas estão sobre o anel: a conta 1, de carga +2,00 μC, que é mantida fixa na extremidade esquerda, e a conta 2, de carga +6,00 μC, que pode ser deslocada ao longo do anel. As duas contas produzem, juntas, um campo elétrico de módulo E no centro do anel. Determine (a) um valor positivo e (b) um valor negativo do ângulo θ para que E = 2,00   x   10 5   N / C .

Passo 1

O enunciado nos fala de duas contas (que podem ser consideradas como duas cargas pontuais) que estão arranjadas como mostra a figura acima. O enunciado quer saber dois valores possíveis de ângulo para que tenha o campo elétrico que ele pede.

E =   2,00 ×   10 5   N / C .

Para isso, vamos calcular as componentes x e y do vetor campo elétrico devido as contas 1 e 2 usando decomposição do vetor campo elétrico, que assumirá uma configuração nesse estilo aqui.

Aqui usaremos as seguintes decomposições.

E x = E c o s θ

E y = E s e n θ

E no fim vamos relacionar essa resultante conhecida com o ângulo usando o teorema de Pitágoras e um pouco de trigonometria.

Passo 2

Primeiramente, iremos calcular a componente x. Para isso, devemos lembrar que como a conta 2 não está no eixo x, para calcular a componente x devemos decompor o vetor campo elétrico no eixo x, isto é, multiplicar por c o s θ . Calculando a componente x do campo elétrico:

E t o t , x = | q 1 | k R 2 - q 2 k c o s θ R 2  

Agora, para a componente y, basta a gente multiplicar o vetor campo elétrico da conta 2 por s e n θ ,   isto é, decompor no eixo y. Como a conta 1 está no eixo x, ela não tem componente y. Então:

E t o t , y = - q 2 k s e n θ R 2  

Passo 3

Agora devemos calcular o campo elétrico total, que é somar os quadrados das componentes e tirar a raiz disso, que nada mais é do que fazer o Pitágoras do triangulo do ínicio.

E = | q 1 | k R 2 - q 2 k c o s θ R 2   2 + - q 2 k s e n θ R 2 2  

Elevando ao quadrado, e simplificando, temos:

E 2 = q 1 2 + q 2 2 - 2 q 1 q 2 c o s θ R 4

Deixando θ explicitado:

θ = cos - 1 ⁡ q 1 2 + q 2 2 - R 4 E 2 k 2 2 q 1 q 2

Substituindo pelos valores numéricos que já temos, lembrando da constante de Coulomb ( 8,99   x   10 9   N . m 2 / C 2 ) , obtemos dois valores de ângulo possível, um positivo e um negativo:

θ = cos - 1 ⁡ 2 ² + 6 ² - ( 0,50 ) 4 ( 2 * 10 5 ) 2 ( 8,99 * 10 9 ) 2 2 * 6 * 2 = 67,8 °   o u - 67,8 °

  1. O valor positivo é θ = 67,8 ° .
  2. O valor negativo é θ =   - 67,8 ° .

Resposta

  1. O valor positivo é θ = 67,8 ° .
  2. O valor negativo é θ =   - 67,8 °
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