A figura abaixo, onde A B e C D são adiabáticas, representa o ciclo de Otto, esquematização idealizada do que ocorre num motor a gasolina de 4 tempos: A B representa a compressão rápida (adiabática) da mistura de ar com vapor de gasolina, de um volume inicial V 0 para V 0 / r ( r = taxa de compressão); B C representa o aquecimento a volume constante devido à ignição; C D é a expansão adiabática dos gases aquecidos, movendo o pistão; D A simboliza a queda de pressão associada à exaustão dos gases da combustão. A mistura é tratada como um gás ideal de coeficiente adiabático γ . (a) Mostre que o rendimento do ciclo é dad por η = 1 - T D - T A T C - T B = 1 - 1 r γ - 1 (b) Calcule η para γ = 1,4 e r = 10 (compressao máxima permissível para evitar pré-ignição).

(a) Demonstração.(b) η ≈ 60 % .

Enunciado

(a) Vamos começar lembrando da fórmula para o rendimento:

Então beleza, precisamos calcular o trabalho realizado e o calor absorvido ao longo de cada ciclo.

Pra isso vamos precisar dessa fórmula aqui:

Que pela lei dos gases ideias, é a mesma coisa que:

O trabalho só não é nulo em dois trechos: e , e aí é só substituir na fórmula:

Ou seja, o trabalho total é:

E agora temos que calcular o calor absorvido em cada ciclo. Lembrando que e são adiabáticos, ou seja, não temos troca de calor.

No trecho a temperatura está diminuindo, então o calor só é absorvido no outro trecho, que é .

Pela primeira lei da termodinâmica:

E já que o volume é constante nesse processo, o trabalho é nulo:

E agora vamos usar a fórmula para a variação de energia interna:

Dá pra escrever em função de usando essa fórmula aqui:

Então:

Agora podemos voltar na fórmula do rendimento :

Organizando um pouco:

E agora chegamos na fórmula que aparece no enunciado:

Agora fica faltando a segunda parte da igualdade:

Pra demonstrar isso, vamos começar olhando para os dois processos adiabáticos: e .

E agora vamos usar a lei dos gases ideais em cada um dos pontos:

Substituindo os volumes de acordo com o gráfico:

E substituindo as pressões e usando a conta que ali de cima:

Agora vamos tentar usar esse sistema pra demonstrar a equação que aparece no enunciado.

Primeiro subtraímos a primeira equação da última, pra encontrar a diferença de temperaturas :

E então fazemos a mesma coisa com a terceira e a segunda equações pra encontrar

E então, pra voltar na fórmula do enunciado, vamos fazer a razão entre essas duas diferenças de temperaturas:

E pela fórmula que demonstramos no passo de cima:

Pronto! Conseguimos demonstrar a fórmula do item (a).

(b) Agora é só substituir os valore numéricos para calcular :

Como e :

(a) Demonstração.

(b) .