A FIGURA PD23.80 mostra um raio luminoso que se propaga do ponto A ao ponto B. O raio cruza uma interface vertical, na posição x, formando ângulos 81 e 82 com a normal nos dois meios. Suponha que você não conheça a lei de Snell.

Escreva uma expressão para o tempo r que o raio luminoso levaria para ir de A até B. A expressão deve ser uma função das distâncias a, b e w, da variável x e dos índices de refração e .

b. O tempo decorrido depende de x. Existe um valor de x para o qual a luz se propaga de A para B no menor tempo possível. Ele é chamado de . Escreva uma expressão (porém não tente resolvê-la!) para determinar .·

c. Agora, usando a geometria da figura, derive a lei de Snell a partir de sua resposta ao item b.

Você provará que a lei de Snell é equivalente ao enunciado de que "a luz que se propaga entre dois pontos segue o caminho que requer o tempo mais curto". Esta maneira interessante de pensar acerca da refração é chamada de princípio de Fermat.

B – A expressão para pode ser determinada diferenciando t em relação a x e colocando essa derivada como sendo igual a zero, então

Diferenciando em relação a x, nós temos:

Como é uma constante, temos que

Essa derivada tem como resultado o seguinte

É complicadinha de se visualizar, mas dá para fazer

O valor de x pode ser determinado usando essa expressão.

C- Fazendo uma análise dos ângulos, nós temos que existe um cosseno de é

Substituindo o nós temos

O cosseno de é exatamente o seno de

Já no caso de seno de , temos o complementar

Substituindo os termos dos senos, temos exatamente a Lei de Snell