Enunciado
Física - Young and Freedman - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.Problemas - Ex. 85
Um fluido incompressível om densidade está em um tubo de teste horizontal com área da seção reta interna A. O tubo de teste gira com velocidade angular em uma ultracentrifugadora. As forças gravitacionais são desprezíveis. Considere um elemento de volume do fluido de área A e espessura dr’ situado a uma distancia r’ do eixo de rotação. A pressão na superfície interna é P e a pressão na superfície externa é . a) Aplique a segunda lei de Newton ao elemento do volume para mostrar que . b) Se a superfície do fluido está em um raio onde a pressão é mostre que a pressão p a uma distancia é dada por . c) Um objeto de volume V e a densidade possui o centro de massa a uma distância
Passo 1
Siga o procedimento especificado na parte (a) e integre esse resultado à parte (b).
Uma partícula rotativa a uma distância do eixo de rotação tem aceleração interna .
Passo 2
- A força interna líquida é
- Integrando a expressão acima
- A força resultante no objeto deve ser a mesma que em um elemento fluido da mesma forma. Um elemento tão fluido está acelerando para dentro com uma aceleração de magnitude
- Se , a força interna é maior que a necessária para manter o objeto em movimento em um círculo com raio na frequência angular , e o objeto se move para dentro. Se , a força resultante é insuficiente para manter o objeto em movimento circular naquele raio, e o objeto se move para fora.
- Objetos com densidades mais baixas tenderão a se mover em direção ao centro, e objetos com densidades mais altas tenderão a afaste-se do centro.
,
e a massa do elemento fluido é.
Usando a segunda lei de Newton, com a aceleração radial interna de , isso nos dá que
Passo 3
E
,
Que é o resultado desejado.
Passo 4
e assim a força no objeto é
Passo 5
Passo 6
A pressão no fluido aumenta à medida que a distância do eixo de rotação aumenta.