Enunciado
Física - Young and Freedman - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.Problemas - Ex. 81
Uma mulher está em pé em repouso em frente a uma parede grande e lisa, ela segura um diapasão que vibra com frequência , diretamente à sua frente (entre ela e a parede). a) A seguir a mulher corre em direção à parede com velocidade . Ela detecta batimentos provocados pela interferência entre as ondas sonoras que ela ouve diretamente do diapasão e as ondas sonoras refletidas pela parede. quantos batimentos por segundo a mulher detecta? (Nota: quando a frequência dos batimentos é muito grande, a mulher deve usar algum instrumento além dos ouvidos para detectar e contar os batimentos.) b) Se, em vez de se aproximar, ela se afastar da parede, mantendo o diapasão às suas costas, entre ela e a parede, quantos batimentos por segundo ela mede?
Passo 1
a) Ao correr em direção a parede, ocorrerá efeito Doppler sobre a frequência do diapasão, vamos usar a equação do efeito Doppler:
Onde significa mulher, que é a fonte nesse caso, e parede.
Como a mulher corre em direção a parede será negativo, e como a parede está parada . A equação fica:
Depois que as ondas batem e refletem na parede, elas irão retornar na mulher e ela ouvirá o som com uma frequência maior. A equação do efeito Doppler para esse caso vai ser:
A parede atua como uma fonte agora, como ela está parada, zeramos o termo no denominador. O termo no numerador será positivo porque a mulher se aproxima da parede e a frequência ouvida deve ser maior que a frequência refletida pela parede.
Passo 2
Substituindo a primeira equação na segunda:
Simplificando:
Como a velocidade da mulher é a mesma em toda a situação:
Então:
Essa será a frequência ouvida pela mulher depois de ser emitida pelo diapasão e refletida na parede. Os batimentos serão a diferença entre as duas frequências:
Substituindo :
Tirando MMC e fator comum:
Passo 3
b) para o caso da mulher se afastando, só os sinais que vão mudar na primeira e na segunda equação, porque a frequência recebida pela parede deve ser menor do que a frequência emitida. E a frequência ouvida pela mulher deve ser menor que a refletida:
E substituindo uma na outra, e considerando :
Simplificando:
E usando a equação de batimentos, dessa vez com a diferença trocada, porque a frequência final é menor que a inicial:
Substituindo :
Reescrevendo: