Enunciado
Física - Griffiths - Mecânica Quântica- Ed: 2º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 24 a
As funções delta vivem sob os sinais da integral, e duas expressões ( e ) envolvendo funções delta são ditas iguais se:
Para cada função (comum) .
- Demonstre que:
Onde é uma constante real. (Verifique o caso em que é negativo.)
Passo 1
E aí, beleza? Nessa questão vamos demonstrar algumas propriedades da função delta de Dirac.
Para o item a), considere uma função comum. Assim, tomemos a seguinte integral:
A partir dela, vamos tentar chegar na expressão desejada para .
Passo 2
Agora, façamos a seguinte substituição:
Assumindo inicialmente que , temos:
Como está contido nos limites de integração, a integral vale:
Mas note que esse resultado é o mesmo de:
Portanto, vem que:
Para .
Passo 3
Agora, para , vem, ao fazer a substituição:
Atente que agora o integrando é invertido, pois . Assim, vem:
Que é a mesma integral do passo anterior. Desse modo, temos:
Ou seja, nesse caso, a relação é a seguinte:
Por fim, unido o passo com o passo , podemos concluir:
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)