O pacote de onda gaussiano. Uma partícula livre tem como função de onda inicial: Ψ x , 0 = A e - a x 2 Em que A e a são constantes ( a é real e positivo).c) Calcule Ψ x , t 2 . Dê sua resposta em termos da quantidade ω = a 1 + 2 ℏ a t m 2 Esboce | Ψ x , t 2 (como uma função de x ) em t = 0 , e novamente para t bastante grande. Qualitativamente, o que acontece com Ψ 2 no decorrer do tempo?

Ψ x , t 2 = 2 π ωe - 2 ω 2 x 2

Enunciado

O item c) vai pedir um cuidado maior com as contas para . Dessa maneira, vamos definir a quantidade para facilitar nossa vida. Assim vamos às contas:

O expoente de fica:

Portanto, a densidade de probabilidade fica:

Assim, como , ficamos com:

Em um instante inicial, podemos esperar que a função densidade de probabilidade seja do tipo:

Portanto, o gráfico para esse instante tem a forma:

Agora, com o passar do tempo, podemos perceber que, como é uma função decrescente de , isto é, ela apenas diminui, a densidade de probabilidade

Possui um pico mais atenuado e, além disso, está mais distribuída ao longo do eixo , como indica o gráfico a seguir:

Perceba que isso significa que com o passar do tempo, a probabilidade de encontrar a partícula próxima à origem diminui, como era de se esperar!