Enunciado

O ar (um gás diatômico ideal) a 27,0 °C e a pressão atmosférica é injetado numa bomba de bicicleta (Figura P17.53), que tem um cilindro com diâmetro interno de 2,50 cm e comprimento de 50,0 cm. A força para baixo comprime adiabaticamente o ar, que atinge uma pressão de 8,00 × 10 5 P a antes de entrar no pneu. Queremos investigar o aumento de temperatura na bomba. (a) Qual é o volume inicial de ar na bomba? (b) Qual é o número de mols de ar na bomba? (c) Qual é a pressão absoluta do ar comprimido? (d) Qual é o volume do ar comprimido? (e) Qual é a temperatura do ar comprimido? (f) Qual é o aumento na energia interna do gás durante a compressão? E se? A bomba é feita de aço com 2,00 mm de espessura. Suponha que 4,00 cm do comprimento do cilindro possam entrar em equilíbrio térmico com o ar. (g) Qual é o volume de aço neste comprimento de 4,00 cm? (h) Qual é a massa de aço neste comprimento? (i) Suponha que a bomba seja comprimida uma vez. Após a expansão adiabática, a condução resulta no aumento de energia na parte (f), sendo compartilhada entre o gás e o comprimento de 4,00 cm de aço. Qual será o aumento da temperatura do aço após uma compressão?

Passo 1

Aobaa, baum??

Bora??

  1. Ao substituirmos os dados, teremos:
  2. V o = A ⋅ h

    V o = π 2,5 2 2 ⋅ 50

    V o = 245,44   c m 3

    V o = 0,245   L

  3. Ao utilizarmos a equação dos gases, o número de mols será:
  4. n = P o V o / R T o

    Logo, ao substituirmos os dados, teremos:

    n = 1 ⋅ 0,245 0,082 ⋅ 300,15

    n = 0,01   m o l s

    Passo 2

  5. Para obtermos a pressão final em atmosferas, basta convertermos as unidades e lembrarmos que   1   a t m ≈ 10 5 P a .
  6. Assim, a pressão final será P ≈ 8   a t m .

  7. Em um processo adiabático, temos que :
  8. P ⋅ V γ = P o ⋅ V o γ

    V = V o ⋅ P o P 1 γ

    Logo, o volume final será :

    V = 0,245 ⋅ 1 8 5 7

    V ≈ 0.056   L

    Passo 3

  9. Como não houve troca de calor no processo, a variação de energia interna ∆ U será igual ao trabalho recebido pelo gás, logo:
  10. ∆ U = W

    ∆ U = - ∫ V o V f P ⋅ d V

    Uma vez que o processo é adiabático, a pressão e o volume do sistema estão relacionados por P ⋅ V γ = k c o n s t a n t e . Assim, ao substituindo P na integral, obteremos:

    ∆ U = ∫ V o V f k V γ ⋅ d V

    ∆ U = - k ⋅ V 1 - γ 1 - γ V o V f

    ∆ U = - k ⋅ V f 1 - γ - k ⋅ V o 1 - γ 1 - γ

    ∆ U = - P f ⋅ V f - P o ⋅ V o 1 - γ

    Ao substituirmos os dados, iremos obter:

    ∆ U = - 8 ⋅   0,056 - 1 ⋅ 0,245 1 - 7 5

    ∆ U ≈ 0,145   a t m × L

    Em joules, esse valor equivale a ∆ U ≈ 14,7   J .

    Passo 4

  11. O volume de aço nesse segmento do cilindro é dado por:
  12. V a ç o = A ⋅ h

    V a ç o = π R 2 - π r 2 ⋅ h

    Em que :

    r = 1,25   c m é o raio interno do cilindro;

    R = 1,45   c m é o raio externo, considerado espessura.

    Assim, ao substituirmos os valores:

    V a ç o = π 1,45 2 - 1,25 2 ⋅ 4

    V a ç o ≈ 6,79   c m 3

    Passo 5

  13. A massa pode ser calculada ao multiplicarmos o volume pela densidade do aço:
  14. m a ç o = V a ç o ⋅ ρ a ç o

    Logo:

    m a ç o = 6,79 ⋅ 7,86

    m a ç o ≈ 56,37   g

    Passo 6

  15. Após a compressão adiabática, o gás atinge uma temperatura T g á s igual a:

T g á s = P V n R

T g á s = 8 ⋅ 0,056 0,01 ⋅ 0,082

T g á s ≈ 546,34   K

Porém, ao entrar em equilíbrio térmico com o segmento de aço, que estava a uma temperatura T a ç o = 300,15   K , o ar resfriará um pouco e o aço aquecerá até que ambos atinjam a mesma temperatura final T f . Como o calor que um perde o outro recebe, devemos ter:

Q a ç o = - Q g á s

Logo, ao desenvolvermos a expressão anterior, podemos obter a temperatura final do sistema:

m a ç o c a ç o T f - T a ç o = - m g á s c g á s ( T f - T g á s )

T f = m g á s c g á s T g á s + m a ç o c a ç o T a ç o m g á s c g á s + m a ç o c a ç o

A massa de ar m g á s contida no cilindro é dada por

m g á s = V g á s ⋅ ρ g á s

m g á s = 0,056 × 10 - 3 ⋅ 1,293

m g á s ≈ 0,072 ⋅ 10 - 3 k g

Passo 2

Por fim, ao tomarmos o calor específico do aço como c a ç o = 486   j / k g ⋅ K e do ar como c g á s = 5 R / 2   ≈ 718   j / k g ⋅ K , teremos

T f = 0,072 × 10 - 3 ⋅ 718 ⋅ 546,34 + 56,37 × 10 - 3 ⋅ 486 ⋅ 300,15 0,072 × 10 - 3 ⋅ 718 + 56,37 × 10 - 3 ⋅ 486

T f ≈ 300,61   K

Portanto, a primeira bombeada aumentará a temperatura daquele segmento do cilindro em, aproximadamente 0,5°C.

Resposta

Vide o passo a passo.

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