Enunciado

Num instante particular, três partículas estão se movendo conforme a Fig. 9.25. Elas estão sujeitas somente a suas interações mútuas, de tal modo que nenhuma força externa está agindo. Após certo tempo, elas são novamente observadas e vê-se que m1 está se movendo conforme indicação na figura, enquanto que m2 está em repouso. Determine a velocidade de m3. Suponha que m1 = 2 kg, m2 = 0,5 kg, m3 = 1 kg, v, = 1 m · s-1, v2 = 2 m · s-1, v3 = 4 m · s-1 e v\= 3 m · s-1. Determine a velocidade do CM do sistema nos dois instantes mencionados no problema. Num dado instante, as posições das massas são m, (-0,8 m,-1,1 m), m2(0,8 m, -1,1 m), mil,4 m, 0,8 m). Trace uma linha que mostre a trajetória do centro de massa do sistema.

Passo 1

Falaaa galera!!! Inicialmente, temos que a massa será de 2+0,5+1=3,5kg. Assim, como não existem forças externas, o centro de massa terá a velocidade constante. Como sabemos o centro de massa é dado por:

V c m = 1 / m + ∑ n = 1 i π

Assim, vamos inicialmente encontrar a velocidade dada na primeira posição, sendo que:

V c m = 1 / 3,5 * ( 2 v 1 + 0,5 v 2 + v 3 )  

Encontrando cada uma das velocidades:

v 1 = i ,   v 2 = 2 j ,   v 3 = - 2 √ 3 - 2 j

Assim, temos que:

V c m =   1 / 3,5 * ( 2 i + j - 2 √ 3 - 2 j ) = ( - 2 / 3,5 ) * ( √ 3 - 1 ) i - 1 / 3,5 j )

Na segunda posição, teremos:

V c m = 1 / 3,5 * ( - 2 v 1 i + v 3 ) = 1 / 3 , 5 ( - 6 i + v 3 )

Igualando ambas as equações, encontramos que:

- 6 i + v 3 = - 2 ( √ 3 - 1 ) i - j

Isolando v3 e resolvendo todas as contas:

v 3 = 4,64   m / s

Passo 2

Agora, conseguimos encontrar o ângulo de v3 pela tangente:

t g   θ =   - 1 / ( 7 - 2 √ 3 ) ⇒ θ v 3 =   - 16,2 °

Além disso, a velocidade do centro de massa será:

V c m = ( - 2 / 3,5 ) * ( √ 2 - 1 ) i - 1 / 3,5 j = - 0,419 i - 0,286 j

Encontrando a velocidade final, precisamos calcular o módulo da união destes dois vetores, certo? ou seja:

V c m = √ ( - 0,419 i ) ² + ( - 0,286 j ) ² = 0,506   m / s e sabemos que seu ângulo θ = 216 ° .

Passo 3

Por fim, encontramos as posições da seguinte maneira:

r ( c m ) = ∑ m i * r i / ∑ m i   = ( 1 / 3,5 ) * [ 2 * ( - 0,8 i - 1,1 j ) + 0,5 * ( 0,8 i - 1,1 j ) + ( 1,4 i + 0,8 j ) ]

Simplificando os valores, teremos:

( 2 / 3,5 ) i - ( 19,5 / 35 ) j

Logo, r ( c m ) = 0,0286 i - 0,577 j   m

Resposta

v 3 = 4,64   m / s , θ v 3 =   - 16,2 °

V c m = 0,506   m / s , θ = 216 °

r c m = 0,0286 i - 0,577 j   m

Ver Outros Exercícios desse livro