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Enunciado

Física - Randall D. Knight - Eletricidade e Magnetismo- Ed: 2º - Capítulo 34.Exercícios e Problemas - Ex. 80

O interruptor da FIGURA P34.80 foi deixado aberto por um longo período de tempo. Ele é fechado em t =   0   s .  

  1. Após o interruptor ter ficado fechado por um longo tempo, qual é a corrente no circuito? Represente essa corrente por I 0 .
  2. Obtenha uma expressão para a corrente I em função do tempo. Escreva sua expressão em função de I 0   ,   R   e L .
  3. Esboce um gráfico corrente versus tempo desde t =   0   s até a corrente não mais variar.

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

Para a)

Pela lei de Kirchhoff:

Δ V b a t e r i a + Δ V R + Δ V L = 0

Assim:

ε - I R - L d I d T = 0

Mas após a chave ter ficado aberta por um longo tempo, a corrente no indutor será estável, logo d I = 0 , assim a corrente será:

ε = I R → I = ε R

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Para b)

A equação dada no item a)

ε - I R - L d I d T = 0

d I d t = ε L -   R L   I

d I d t = R L ( ε R - I )

Mas ε R = I 0 , assim:

d I d t = R L I o - I

d I I 0 - I = R L   d t

Integrando de 0 até uma corrente I ' e de um tempo de 0 a t’:

∫ 0 I ' d I I 0 - I = ∫ 0 t ' R L   d t

( - ln ⁡ I 0 - I )     0 I '   = R L   t 0 t '

- ln ⁡ I 0 - I ' I 0 = R L   t '  

I 0 - I I 0 = e - t R L

I 0 - I = I 0 e - t R L

I t = I 0 1 - e - t R L

Passo 3

Para c)

A equação achada no item b)

I t = I 0 1 - e - t R L

Demonstra que em t = 0 → I ( t ) ) = 0 e t ∞ → I t ) = I 0

E o gráfico é

Resposta

Para a)

ε = I R → I = ε R

Para b)

I t = I 0 1 - e - t R L

Para c)

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