Quando um jogador arremessa uma bola diretamente para cima, como decresce a rapidez da bola a cada segundo de sua subida? Na ausência de resistência do ar, em quanto ela aumenta a cada segundo de sua descida? Quanto tempo leva a subida comparada com a descida?

Vamos dividir a solução desse problema em três partes:

Na primeira parte, definiremos o quanto a velocidade da bola diminui a cada segundo enquanto sobre.

Na segunda parte, vamos buscar saber em quanto a velocidade aumenta a cada segundo durante a descida, podendo desconsiderar a resistência do ar.

Para a terceira e última parte desse problema, vamos determinar qual é o tempo necessário para subir em comparação com cair.

Agora que já definimos o roteiro para nossa solução completa, vamos analisar cada parte individualmente.

Para a primeira parte, é dado que a velocidade da bola diminui a cada segundo enquanto sobe. Na ausência de resistência do ar, a bola não sofre nenhuma força, exceto a atração gravitacional que a Terra exerce sobre ela.

A fórmula que define a velocidade de um corpo em movimento retilíneo é dada por:

onde é a velocidade da bola por um tempo , é a velocidade inicial da bola e é a aceleração devido à gravidade na Terra (aproximadamente igual à ), esse valor é assumido negativo na fórmula, já que o movimento do corpo está indo contra a ação da gravidade.

Agora, assumindo uma velocidade inicial arbitrária igual a , podemos efetuar iterações de tempo para caracterizar a velocidade da bola em sua trajetória, tomaremos:

Agora, podemos calcular a velocidade da bola em um determinado tempo substituindo na fórmula para a velocidade de um corpo em movimento retilíneo:

Podemos observar que a velocidade diminui em a cada iteração de segundo, isso é consistente com o valor da aceleração da gravidade na Terra.

Para a segunda parte, ao contrário da primeira parte, é dado que a velocidade da bola aumenta a cada segundo enquanto desce. Na ausência de resistência do ar, a bola não sofre nenhuma força, exceto a atração gravitacional que a Terra exerce sobre ela.

Como o corpo está em um movimento caracterizado como queda livre, consideramos sua velocidade inicial () igual a zero, então a fórmula que define a velocidade de um corpo em queda livre é dada por:

onde é a velocidade da bola por um tempo e é a aceleração devido à gravidade na Terra (aproximadamente igual à ), esse valor é assumido positivo na fórmula, já que o movimento do corpo está indo a favor da ação da gravidade.

Agora podemos efetuar iterações de tempo para caracterizar a velocidade da bola em sua trajetória, tomaremos:

Agora, podemos calcular a velocidade da bola em um determinado tempo substituindo na fórmula para a velocidade de um corpo em queda livre:

Podemos observar que a velocidade aumenta em a cada iteração de segundo, isso é consistente com o valor da aceleração da gravidade na Terra.

Vamos comparar o tempo de subida e o tempo de descida da bola.

Primeiramente, para a trajetória de subida da bola, temos que o tempo que caracteriza essa trajetória é dado por

Onde e é considerada negativa na equação pois, como a bola está subindo, a força da gravidade está agindo contra o corpo, e , como explicado no Passo 1. Podemos então calcular o tempo de subida da bola:

Segundamente, para a trajetória de subida da bola, temos que o tempo que caracteriza essa trajetória é dado por

Onde e é considerada positiva na equação pois, como a bola está descendo, a força da gravidade está agindo a favor do corpo, (queda livre) e (velocidade adquirida no instante ). Podemos então calcular o tempo de descida da bola:

Ou seja, em ambos os casos, descida ou subida, o tempo que leva para a bola completar sua trajetória é o mesmo.