Um longo e fino ímã em barra tem momento magnético μ → paralelo ao seu eixo mais longo e está suspenso pelo centro como uma agulha de bússola, sem atrito. Quando colocado em uma região com um campo magnético horizontal B → , a agulha alinha-se com o campo. Se ele for deslocado por um pequeno ângulo θ , mostre que a agulha oscilará em torno de sua posição de equilíbrio com uma frequência f = 1 2 π ⋅ μ B I , onde I é o momento de inércia da agulha em torno do ponto de suspensão.

Passo 1

Fala bonit@s, como vocês estão? Espero que estejam bem.

Se liguem só estamos sendo solicitados a mostrar que, para pequenos deslocamentos do equilíbrio, a barra magnética executa um movimento harmônico simples. Para mostrar que seu movimento é MHS, precisamos mostrar que a barra magnética experimenta um torque de restauração linear quando deslocado do equilíbrio. Podemos conseguir isso aplicando a segunda lei de Newton na forma rotacional e usando uma aproximação de pequeno ângulo para obter a equação diferencial para movimento harmônico simples. Uma vez que temos a equação diferencial de movimento, podemos identificar ω e expressar   f . Dessa forma, aplicando a segunda lei de Newton para o ímã da barra temos

- μ B s i n ( θ ) = I ⋅ d ² θ / d t ²  

onde o sinal menos indica que o torque atua de forma a alinhar o ímã com o campo magnético e I é o momento de inércia do ímã.

Passo 2

Pois bem, devemos nos lembrar que para ângulos pequenos podemos fazer a seguinte aproximação

sin ⁡ θ ≈ θ

Sendo assim, nossa equação diferencial anterior passa a ser

- μ B ⋅ ( θ ) = I ⋅ d ² θ / d t ²  

Assim, para pequenos deslocamentos do equilíbrio, vemos que a equação diferencial que descreve o movimento da barra magnética é a equação diferencial do movimento harmônico simples. Essa equação resolvida para d 2 θ d t 2 obtemos:

d 2 θ d t 2 = - μ B I ⋅ θ = - ω 2 θ

Onde

ω = μ B I

Como ω = 2 π f temos que

f = ω 2 π = 1 2 π ⋅ μ B I

Como queríamos mostrar.

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o

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