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Enunciado

Química - Young and Freedman - Vol 4- Ed: 12º - Capítulo 43.Problemas - Ex. 67

Medidas indicam que 27,83 % de todos os átomos de rubídio existentes atualmente na Terra são do isótopo radioativo R b 87 . Os átomos restantes são do isótopo estável R b 85 . A meia-vida do R b 87 é igual a 4,75 × 10 10 a . Supondo que nenhum outro átomo tenha se formado desde então, qual era a porcentagem de átomos de R b 87 quando nosso sistema solar foi formado, há 4,6 × 10 9 a ?

Passo 1

Olá, tudo bem? Vou ajudar a resolver essa aqui! Vamos lá?

A ideia aqui é usar a equação 43.17 do livro texto para relacionar o número inicial de núcleos radiativos N 0 , com o número de núcleos N após transcorrido um tempo t , certo?

Vou chamar de N 85 o número de átomos de R b 85 : esse número não sofre alteração! Vamos chamar de N 0 o número de átomos de R b 87 que estavam na Terra quando nosso sistema solar foi formado. E vamos chamar de N o número de átomos de R b 87 agora. Certo?

Passo 2

Medidas atuais mostram que 27,83 % de todos os átomos de rubídio existentes atualmente na Terra são do isótopo radioativo R b 87 , ou seja, em números temos:

N N + N 85 = 27,83 % = 0,2783

Então daqui podemos achar o número N em função do número N 85 , saca só:

N + N 85 0,2783 = N

0,2783 N + 0,2783 N 85 = N

0,2783 N 85 = N - 0,2783 N

0,2783 N 85 = 0,7217 N

N = 0,2783 N 85 0,7217 = 0,3856 N 85

E o percentual que foi pedido foi do número de N 0 em relação ao número total:

N 0 N 0 + N 85

Mas o número inicial está relacionado com o número após um tempo t , saca só:

N = N 0 e - λ t

Ou, melhor ainda:

N 0 = N e λ t

Então o que queremos é:

N 0 N 0 + N 85 = N e λ t N e λ t + N 85

Mas N = 0,3856 N 85 , então:

N 0 N 0 + N 85 = ( 0,3856 N 85 ) e λ t ( 0,3856 N 85 ) e λ t + N 85

E como temos o número N 85 em todos os termos, podemos simplificar ainda mais:

N 0 N 0 + N 85 = ( 0,3856 ) e λ t ( 0,3856 ) e λ t + 1

Beleza?

Passo 3

Agora precisamos encontrar o valor daquela exponencial ali em cima. O tempo t é 4,6 × 10 9 a n o s , e o tempo de meia vida vale 4,75 × 10 10 a n o s . Então vamos começar calculando o coeficiente de decaimento λ , através do tempo de meia vida:

λ = 0,693 T 1 / 2 = 0,693 4,75 × 10 10 = 1,459 × 10 - 11

E agora o valor da exponencial e λ t :

e λ t = e 1,459 × 10 - 11 . 4,6 × 10 9 = e 0,16711 = 1,0694

Passo 4

Agora vem a melhor parte: só substituir!

Do passo 2 temos:

N 0 N 0 + N 85 = ( 0,3856 ) e λ t ( 0,3856 ) e λ t + 1

E do passo 3 temos e λ t = 1,0694 , agora é só juntar isso:

N 0 N 0 + N 85 = 0,3856 . 1,0694 0,3856 . 1,0694 + 1 = 0,292 × 100 % = 29,2 %

Feito! Vamos pra próxima? =)

Resposta

29,2 %

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