Em um modelo simplificado de um semicondutor não dopado, a distribuição de estados disponíveis pode ser substituída por uma distribuição na qual existem estados na banda de valência todos com a mesma energia , e estados na banda de condução, todos com a mesma energia . O número de elétrons na banda de condução é igual ao número de buracos na banda de valência.

(a) Mostre que, para que essa última condição satisfeita, é preciso que

em que

e

(b) Se o nível de Fermi está aproximadamente a meio caminho entre a banda de valência e a banda de condução e se a distância entre o nível de Fermi e as duas bandas é muito maior que , e na equação do item (a). Nessas condições mostre que

o que, para , significa que o nível de Fermi de um semicondutor não dopado está praticamente a meio caminho entre a banda de valência e a banda de condução.

A ideia é, como o número de estados é definido pela soma entre o número de elétron mais o número de buracos , então temos que

Já para o número de elétrons na banda de condução, temos que

Usando a suposição de , onde e

Assim teremos que

(b) Se temos que então teremos que implicando que

E consequentemente temos que

Reduzindo nossa equação final do passo 2 em

Tomando , temos

Tomando o ln em ambos os lados, temos

Como queríamos demonstrar.