Supondo que se pode colocar uma quantidade de hidrogênio com número de massa três (o trítio) suficiente para exames espectroscópicos em um tubo contendo hidrogênio comum, determine a separação entra a primeira linha de Balmer para o hidrogênio normal e a que seria observada.

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

A seguir reproduzimos todos os decaimentos envolvendo os quatro primeiros níveis de energia do átomo de hidrogênio:

A transição destacada corresponde a linha H α : a transição de menor energia na série de Balmer (que termina em n = 2 ). Portanto, a energia do fóton da primeira linha de Balmer para o hidrogênio comum é

E H = 1,89   e V

A pergunta que devemos responder é: o que acontece se considerarmos o trítio?

Passo 2

Volte para a equação (4-26c) do livro. A energia é dada por

E n = - 1 4 π ϵ 0 2 μ Z 2 e 4 2 n 2 ℏ = - Z 2 ⋅ 1 4 π ϵ 0 2 μ e 4 2 ℏ ⋅ 1 n 2

Podemos multiplicar e dividir a equação pela massa do elétron:

E n = - Z 2 ⋅ 1 4 π ϵ 0 2 m e e 4 2 ℏ ⋅ 1 n 2 ⋅ μ m e

Sabemos que

1 4 π ϵ 0 2 m e e 4 2 ℏ = 13,6   e V

Assim, para Z = 1 próton, temos

E n = - 13,6 n 2   μ m e   e V

A questão é analisar o quanto a correção μ / m e vai mudar os níveis de energia.

Passo 3

Lembre-se que a massa reduzida é dada por

1 μ = 1 m n u c l e o + 1 m e → m e μ = 1 + m e m n u c l e o

Para o hidrogênio comum, m n u c l e o = M , onde M é a massa do próton. Já para o trítio, temos

m n u c l e o = M + 2 M n e u t r o n ≈ 3 M

Assim,

m e μ t = 1 + m e 3 M               e           m e μ H = 1 + m e M

A energia do fóton emitido no átomo de hidrogênio é

E H = 13,6   e V   μ H m e   1 n f 2 - 1 n i 2 = h c λ H → λ H = h c 13,6   e V m e μ H 1 n f 2 - 1 n i 2

Analogamente, para o trítio:

λ t = h c 13,6   e V m e μ t 1 n f 2 - 1 n i 2

Com isso, podemos escrever

λ H - λ t = h c 13,6   e V 1 1 n f 2 - 1 n i 2   m e μ H - m e μ t

Para a transição da linha H α , temos n f = 2 e n i = 3 . Além disso, temos h c = 1240   e V   n m :

λ H - λ t = 1240   e V   n m 13,6   e V ⋅ 1 1 4 - 1 9 m e μ H - m e μ t

Assim,

λ H - λ t = 656,5   n m ⋅ m e μ H - m e μ t

Falta calcular o termo entre parênteses!

Passo 4

Lembre-se que

m e μ t = 1 + m e 3 M               e           m e μ H = 1 + m e M

Assim,

m e μ H - m e μ t = 1 + m e M - 1 - m e 3 M = 2 m e 3 M

Como M ≈ 1836 m e , temos

m e μ H - m e μ t = 2 3 ⋅ 1836

Assim,

λ H - λ t = 2 3 ⋅ 1836 ⋅ 656,5   n m = 0,238   n m

Ou ainda,

λ H - λ t = 2,38 ⋅ 10 - 10   n m

Resposta

λ H - λ t = 2,38 ⋅ 10 - 10   n m

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