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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 4- Ed: 12º - Capítulo 44.Exercícios - Ex. 24

  1. Mostre que a constante de acoplamento para a interação eletromagnética, e 2 / 4 π ϵ 0 ℏ c , é adimensional e possui o valor numérico 1 / 137 .
  2. Mostre que, no modelo de Bohr, a velocidade orbital de um elétron na órbita n = 1 é igual a c vezes a constante de acoplamento e 2 / 4 π ϵ 0 ℏ c .

Passo 1

Olá, tudo bem? Vamos resolver junto esse exercício? =D

Letra a)

Vamos lá no apêndice F procurar os valores das constantes e suas respectivas unidades:

e 2 = 1,6 × 10 - 19 2 C 2

ϵ 0 = 8,85 × 10 - 12   C 2 N . m 2  

ℏ = h 2 π = 6,62 × 10 - 34 2 π J . s

c = 3 × 10 8 m s

Vamos ver a adimensionalidade primeiro:

e 2 4 π ϵ 0 ℏ c = C 2   C 2 N . m 2 . J . s   . m s

E lembrando que J = N . m , temos:

C 2   C 2 N . m 2 . N . m . s   . m s = 1

Agora os valores:

e 2 4 π ϵ 0 ℏ c = 1,6 × 10 - 19 2 4 π 8,85 × 10 - 12 . 6,62 × 10 - 34 2 π . 3 × 10 8 = 7,3 × 10 - 3

Que corresponde ao valor de 1 / 137 .

Passo 2

Letra b)

A partir da seção 38.5 do nosso querido livro, temos que a velocidade orbital de um elétron na órbita n = 1 é igual a:

v = e 2 2 ϵ 0 h

E agora vamos multiplicar e dividir por c , e substituir h por h = 2 π ℏ :

v = e 2 2 ϵ 0 ( 2 π ℏ ) × c c = e 2 4 π ϵ 0 ℏ c c

E é exatamente isso que queríamos determinar!

Certinho até aqui? =D

Espero ter ajudado!

Vamos pra próxima?

Resposta

a ) C 2   C 2 N . m 2 . N . m . s   . m s = 1

b ) v = e 2 2 ϵ 0 ( 2 π ℏ ) × c c = e 2 4 π ϵ 0 ℏ c c

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