Mostre que a constante de proporcionalidade em (1-4) é 4 / c . Isto é, mostre que a relação entre a radiância espectral R T ν e a densidade de energia ρ T ν é R T ν = c / 4   ρ T ν .

Passo 1

Primeira coisa é fazer uma correção no enunciado. Ele diz para mostrarmos que R T ν = c / 4   ρ T ν   d ν , quando na verdade o que deve ser mostrado é que

R T ν = c / 4   ρ T ν

A equação (1-4) do livro estabelece que a densidade de energia espectral ρ T ν deve ser proporcional à radiância espectral R T ν :

ρ T ν = k   R T ν

Temos que mostrar que a constante de proporcionalidade é k = 4 / c . Para isso, temos que lembrar que a densidade de energia espectral representa a densidade de energia (energia por volume) por unidade de frequência, enquanto a radiância espectral representa a potência por unidade de área por unidade de frequência.

Antes de prosseguir nessa resolução, aconselho que você vá dar uma olhada na questão 1-7 desse capítulo em que é feita uma discussão de análise dimensional dessa relação.

Passo 2

As contas que vamos fazer agora são um pouco complicadas e envolvem integrais de volume.

Sabemos que ρ T ν   d ν representa a energia por unidade de volume com frequência no intervalo ν ,   ν + d ν . Se integrarmos no volume, obtemos a energia com frequência nesse intervalo, que chamaremos de E ν   d ν :

E ν   d ν = ∭ ρ T ν   d ν   d V

Como a integral é feita no volume, se trata de uma integral tripla. Como ν não faz parte da integral, podemos tirar d ν para fora:

E ν   d ν = d ν ∭ ρ T ν   d V

Em outras palavras, a energia espectral é dada por

E ν = ∭ ρ T ν   d V

Passo 3

Vamos considerar a seguinte situação: a radiação saindo da cavidade através de um buraco cuja área é A . O plano que contém o buraco é o plano x y :

Vamos considerar coordenadas esféricas r ,   θ ,   ϕ como mostrado na figura. Podemos quebrar a integral tripla de volume em duas integrais: uma integral radial e outra angular:

∭ d V = ∬ d Ω   ∫ r 2   d r

Vale lembrar que d Ω = s e n   θ   d θ   d ϕ . Assim,

E ν = ∬ d Ω   ∫ r 2   d r   ρ T ν

Vamos considerar apenas a integral angular:

E ν = ∫ r 2   d r   ∬ d Ω   ρ T ν

Podemos escrever o elemento infinitesimal angular de densidade de energia:

ρ T ν d Ω 4 π = 1 4 π ρ T ν   s e n   θ   d θ   d ϕ

Agora olhe com atenção a figura: considere a radiação se propagando na direção da seta verde, que faz um ângulo θ com o eixo z perpendicular ao buraco. Se considerarmos um intervalo de tempo d t , a radiação percorre uma distância c   d t , de modo que o volume infinitesimal “varrido” pela radiação é

A cos ⁡ θ   c   d t

Repare que A cos ⁡ θ é a projeção da área do buraco na direção de propagação. Com isso, podemos escrever a energia infinitesimal por unidade de frequência d E ν contida nesse volume multiplicando a densidade de energia angular ρ T ν   d Ω / 4 π pelo volume A cos ⁡ θ   c   d t :

d E ν = 1 4 π ρ T ν   c   s e n   θ   d θ   d ϕ ⋅ A cos ⁡ θ   c   d t = 1 4 π A   d t   ρ T ν   c cos ⁡ θ   s e n   θ   d θ   d ϕ

A radiância espectral é a energia por unidade de frequência por unidade de área e por unidade de tempo, de modo que podemos escrever

R T ν = 1 A   d t ∬ d E ν = 1 4 π ∬ ρ T ν   c cos ⁡ θ   s e n   θ   d θ   d ϕ

Portanto, considerando que ϕ varia de 0 a 2 π e θ varia de 0 a π / 2 :

R T ν = ρ T ν   c 4 π ∫ 0 2 π d ϕ   ∫ 0 π / 2 s e n   θ cos ⁡ θ   d θ

Logo,

R T ν = c ρ T ν 4 π ⋅ 2 π ⋅ 1 2 → R T ν = c 4   ρ T ν

Isso demonstra o que foi pedido!

Resposta

Demonstração.

Ver Outros Exercícios desse livro