Mostre que a constante de proporcionalidade em (1-4) é . Isto é, mostre que a relação entre a radiância espectral e a densidade de energia é .
Passo 1
Primeira coisa é fazer uma correção no enunciado. Ele diz para mostrarmos que , quando na verdade o que deve ser mostrado é que
A equação (1-4) do livro estabelece que a densidade de energia espectral deve ser proporcional à radiância espectral :
Temos que mostrar que a constante de proporcionalidade é . Para isso, temos que lembrar que a densidade de energia espectral representa a densidade de energia (energia por volume) por unidade de frequência, enquanto a radiância espectral representa a potência por unidade de área por unidade de frequência.
Antes de prosseguir nessa resolução, aconselho que você vá dar uma olhada na questão 1-7 desse capítulo em que é feita uma discussão de análise dimensional dessa relação.
Passo 2
As contas que vamos fazer agora são um pouco complicadas e envolvem integrais de volume.
Sabemos que representa a energia por unidade de volume com frequência no intervalo . Se integrarmos no volume, obtemos a energia com frequência nesse intervalo, que chamaremos de :
Como a integral é feita no volume, se trata de uma integral tripla. Como não faz parte da integral, podemos tirar para fora:
Em outras palavras, a energia espectral é dada por
Passo 3
Vamos considerar a seguinte situação: a radiação saindo da cavidade através de um buraco cuja área é . O plano que contém o buraco é o plano :
Vamos considerar coordenadas esféricas como mostrado na figura. Podemos quebrar a integral tripla de volume em duas integrais: uma integral radial e outra angular:
Vale lembrar que . Assim,
Vamos considerar apenas a integral angular:
Podemos escrever o elemento infinitesimal angular de densidade de energia:
Agora olhe com atenção a figura: considere a radiação se propagando na direção da seta verde, que faz um ângulo com o eixo perpendicular ao buraco. Se considerarmos um intervalo de tempo , a radiação percorre uma distância , de modo que o volume infinitesimal “varrido” pela radiação é
Repare que é a projeção da área do buraco na direção de propagação. Com isso, podemos escrever a energia infinitesimal por unidade de frequência contida nesse volume multiplicando a densidade de energia angular pelo volume :
A radiância espectral é a energia por unidade de frequência por unidade de área e por unidade de tempo, de modo que podemos escrever
Portanto, considerando que varia de a e varia de a :
Logo,
Isso demonstra o que foi pedido!
Resposta
Demonstração.