Um radiador de cavidade a 6000   K tem um orifício de 0,10   m m de diâmetro feito em sua parede. Ache a potência irradiada através do orifício no intervalo de comprimentos de onda entre 5500   Å e 5510   Å .

Passo 1

Primeira coisa: 1   Å = 10 - 10   m . Portanto,

5500   Å = 5500 ⋅ 10 - 10   m = 550 ⋅ 10 - 9 = 550   n m

55 1 0   Å = 55 1 0 ⋅ 10 - 10   m = 55 1 ⋅ 10 - 9 = 55 1   n m

Vamos converter esses comprimentos de onda em frequência usando

c = λ ν → ν = c λ

Portanto,

ν 1 = 3 ⋅ 10 8 551 ⋅ 10 - 9 = 5,4446 ⋅ 10 14   H z

ν 2 = 3 ⋅ 10 8 55 0 ⋅ 10 - 9 = 5 , 4545 ⋅ 10 14   H z

Passo 2

A radiância emitida nessa faixa de frequência é dada pela integral da radiância espectral:

R T = ∫ ν 1 ν 2 R T ν   d ν

Repare que R T sem a dependência em ν é a radiância total, enquanto R T ν é a radiância espectral.

Calcular essa integral na mão é muito chato, mas tem um jeito de fugir disso! Repare que ν 2 e ν 1 são muito próximos, de modo que podemos aproximar a integral considerando ν * = ν 1 + ν 2 / 2 e Δ ν = ν 2 - ν 1 :

R T = ∫ ν 1 ν 2 R T ν   d ν = R T ν *   Δ ν

Além disso, R T = P / A , de modo que

P A = R T ν *   Δ ν → P = A   R T ν *   Δ ν

A área do orifício é dada por

A = π d 2 4

Portanto,

P = π d 2 4 R T ν *   Δ ν

Passo 3

Sabemos que

ρ T ν = 8 π ν 2 c 3 ⋅ h ν e h ν / k B T - 1

Além disso, no problema 2 mostramos que

R T ν = c 4 ρ T ν

Portanto,

R T ν = c 4 ⋅ 8 π ν 2 c 3 ⋅ h ν e h ν / k B T - 1 = 2 π ν 2 c 2 ⋅ h ν e h ν / k B T - 1

Com isso, temos

P = π d 2 4 ⋅ 2 π ν * 2 c 2 ⋅ h ν * e h ν * / k B T - 1 ⋅ Δ ν = π 2 2 ⋅ h ν * 3 c 2 ⋅ Δ ν e h ν * / k B T - 1

Sabemos que

Δ ν = ν 2 - ν 1 = 0,0099 ⋅ 10 14   H z = 99 ⋅ 10 10   H z

ν * = ν 1 + ν 2 2 = 5,44955 ⋅ 10 14   H z

Além disso,

k B T = 1,381 ⋅ 10 - 23 ⋅ 6000 = 8,286 ⋅ 10 - 20   J

h ν * = 6,626 ⋅ 10 - 34 ⋅ 5,44955 ⋅ 10 14 = 3,611 ⋅ 10 - 19   J

Logo,

h ν * k B T = 3,611 ⋅ 10 - 19 0,8286 ⋅ 10 - 19 = 4,358

Assim,

e h ν * k B T - 1 = 77,1

Agora podemos fazer toda conta:

P = 3,14 2 2 ⋅ 6,626 ⋅ 10 - 34 ⋅ 5,44955 ⋅ 10 14 3 3 ⋅ 10 8 2 ⋅ 99 ⋅ 10 10 77,1

Fazendo as contas, achamos aproximadamente:

P ≈ 7,5   W

Resposta

P ≈ 7,5   W

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