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Enunciado

Física - Eisberg e Resnick - Física quântica- Ed: 1º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 12

Mostre que Φ φ = cos ⁡ m 1 φ e Φ φ = s e n   m 1 φ são soluções particulares da equação para Φ ( φ )

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos resolver mais uma questão, então prepara o material e vamos resolver!!!

Nesse caso, nós precisamos diferenciar estes dois termos duas vezes, dessa forma aqui:

d 2 Φ d φ 2 = - m 1 2 Φ

O trabalho aqui é mostrar que o lado que vai ser derivado (lado direito) tem o mesmo valor do resultado do lado esquerdo, então o que vamos fazer é substituir, com isso, nós temos:

d 2 Φ d φ 2 = d 2 d φ 2 ( cos ⁡ m 1 φ )

Fazendo a primeira derivada d d x cos ⁡ x =   - sin ⁡ x , nós temos:

d 2 d φ 2 Φ φ = m 1 d d φ - sin ⁡ m 1 φ

Derivando novamente, finalmente nós temos:

d 2 d φ 2 Φ φ = - m 1 2 cos ⁡ m 1 φ

Com isso, nós temos:

d 2 Φ d φ 2 = - m 1 Φ φ

Logo, temos que Φ φ = c o s ⁡ ( m 1 φ ) é uma solução particular da equação.

Passo 2

Agora, o processo é o mesmo, o que muda é que o possível candidato a solução é um seno (No caso, Φ φ = sin ⁡ m 1 φ ), então vamos substituir e derivar os termos.

d 2 Φ d φ 2 = d 2 d φ 2 sin ⁡ m 1 φ

Derivando pela primeira vez, nós temos:

d 2 Φ d φ 2 = m 1 d d φ ( cos ⁡ m 1 φ )

Derivando de novo, temos:

d 2 Φ d φ 2 = - m 1 2 sin ⁡ m 1 φ

Com isso, vamos ter o seguinte resultado:

d 2 Φ d φ 2 =   - m 1 2 Φ φ

Com isso, temos que Φ φ = sin ⁡ m 1 φ é uma solução particular da equação.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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