Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Física - Eisberg e Resnick - Física quântica- Ed: 1º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 24

Use a autofunção do problema 23 para calcular os seguintes valores esperados, e faça um comentário sobre cada resultado: (a) x, (b) p, (c) x^2, (d) p^2.

Passo 1

Saalve, tranquilo?

Vamos resolver juntos mais uma questão de física quântica?!

Passo 2

O operador diferencial para o momento p é

p = - i h ∂ ∂ x

Aqui, h é a constante de Planck reduzida

Passo 3

Algumas integrais que vamos usar

∫ x 2 cos 2 ⁡ b x d x = x 3 6 + x 2 4 b - 1 8 b 3 sin ⁡ 2 b x + x 4 a 2 cos ⁡ 2 b x

E

∫ cos 2 ⁡ b x d x = x 2 + 1 4 b sin ⁡ 2 b x

Passo 4

a) o valor para a posição de x é achada, com x sendo a quantidade usada

A - = ∫ - ∞ ∞ ψ x A ψ x d x

Então

x - = ∫ - ∞ ∞ ψ x x ψ x d x = ∫ - ∞ ∞ x ψ x 2 d x

Usando - a / 2 e a / 2 como os limites de integração (porque essa é a largura)

x - = ∫ - a / 2 a / 2 x 2 a cos ⁡ 3 π x a 2 d x = 2 a ∫ - a / 2 a / 2 x co s 2 ⁡ 3 π x a d x

Então usando as propriedades de funções pares e impares para simplificar isso. Já que o cosseno quadrado é uma função par, e x é uma função ímpar, o produto dos dois é uma função ímpar. E a integral de uma função ímpar centrada na origem é igual a zero, devido à simetria

x - = 2 a 0

∴ x - = 0

Passo 5

b) o valor para o momento p é achada

A - = ∫ - ∞ ∞ ψ x A ψ x d x

Então

p - = ∫ - ∞ ∞ ψ x p ψ x d x = ∫ - ∞ ∞ ψ x - i h ∂ ∂ x ψ x d x

Aplicando os limites de integração - a / 2 e a / 2

p - = ∫ - a / 2 a / 2 2 a cos ⁡ 3 π x a - i h ∂ ∂ x 2 a cos ⁡ 3 π x a d x

E simplificando, aplicando o operador e fatorando as constantes

p - = - i h 2 a ∫ - a / 2 a / 2 cos ⁡ 3 π x a 3 π a - sin ⁡ 3 π x a d x

→ p - = i h 6 π 2 a 2 ∫ - a / 2 a / 2 sin ⁡ 3 π x a cos ⁡ 3 π x a d x

Já que seno é uma função ímpar e cosseno é uma função par, o produto vai ser uma função ímpar. E a integral de uma função ímpar centrada na origem sempre setá zero

p - = i h 6 π 2 a 2 0

∴ p - = 0

Passo 6

c) o valor para x 2 é achada

A - = ∫ - ∞ ∞ ψ x A ψ x d x

Então

x 2 - = ∫ - ∞ ∞ ψ x x 2 ψ x d x = ∫ - ∞ ∞ x 2 ψ x 2 d x

Aplicando os limites de integração - a / 2 e a / 2

x 2 - = ∫ - a / 2 a / 2 x 2 cos 2 ⁡ 3 π x a d x

Já que ambas funções x 2 e cosseno ao quadrado são funções pares, podemos simplificar usando que a integração de uma função par centrada na origem é igual a duas vezes a integral da origem aos pontos finais:

x 2 - = 2 a 2 ∫ 0 a / 2 x 2 cos 2 ⁡ 3 π x a d x = 4 a ∫ 0 a / 2 x 2 cos 2 ⁡ 3 π x a d x

Temos que

x 2 - = 4 a x 3 6 + a x 2 12 π - a 3 216 π 3 sin ⁡ 6 π x a + a 2 x 36 π 2 cos ⁡ 6 π x a 0 a / 2

Aplicando os limites

x 2 - = 4 a a 3 48 + a 3 96 π - a 3 216 π 3 sin ⁡ 3 π + a 3 72 π 2 cos ⁡ 3 π

Simplificando

x 2 - = 4 a a 3 1 3 48 + 1 3 96 π - 1 3 216 π 3 0 ⁡ + 1 3 72 π 2 - 1 = a 2 6 1 2 - 1 3 π 2

∴ x 2 - = 0,0777   a 2

Passo 7

d) o valor para p 2 é achada

A - = ∫ - ∞ ∞ ψ x A ψ x d x

Então

p 2 - = ∫ - ∞ ∞ ψ x p 2 ψ x d x = ∫ - ∞ ∞ ψ x 2 - i h ∂ ∂ x ψ x d x

Usando as autofunções, aplicando os limites de integração - a / 2 e a / 2

p 2 - = ∫ - a / 2 a / 2 2 a cos ⁡ 3 π x a - i h ∂ ∂ x 2 2 a cos ⁡ 3 π x a d x

E simplificando, aplicando o operador e fatorando as constantes

p 2 - = - i h 2 2 a ∫ - a / 2 a / 2 cos ⁡ 3 π x a 3 π a 3 π a ∂ ∂ x - sin ⁡ 3 π x a d x

→ p 2 - = 18 π 2 h 2 a 3 ∫ - a / 2 a / 2 cos 2 ⁡ 3 π x a d x

Usando as propriedades de funções pares para simplificar um pouco mais. A integral de uma função par (cosseno ao quadrado) que é centrada na origem é igual a duas vezes a integral da origem para um dos pontos

p 2 - = 18 π 2 h 2 a 3 2 ∫ 0 a / 2 cos 2 ⁡ 3 π x a d x = 36 π 2 h 2 a 3 ∫ 0 a / 2 cos 2 ⁡ 3 π x a d x

Integrando temos que

p 2 - = 36 π 2 h 2 a 3 x 2 + a 12 π sin ⁡ 6 π x a 0 a / 2

Aplicando os limites

p 2 - = 36 π 2 h 2 a 3 a / 2 2 + a 12 π sin ⁡ 6 π a / 2 a - 0 2 + a 12 π sin ⁡ 6 π 0 a

→ p 2 - = 36 π 2 h 2 a 3 a 4 + a 12 π 0

E simplificando

p 2 - = 36 π 2 h 2 a 3 a 4 = 9 π 2 h 2 a 2

∴ p 2 - = 88,826 h a 2

Resposta

a) x - = 0

b) p - = 0

c) x 2 - = 0,0777   a 2

d) p 2 - = 88,826 h a 2

Ver Outros Exercícios desse livro