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Enunciado

Física - Moysés - Vol. 3- Ed: 1º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 5

Mostre que, se definirmos a velocidade v → de propagação da energia eletromagnética, para um campo arbitrário no vácuo, por S → = U   v → , onde U é a densidade de energia eletromagnética, generalizando a (12.5.15), tem-se

1 - v 2 c 2   U 2 = U E - U M 2 + ε 0 μ 0 E → ⋅ B → 2

onde v = | v → | . Daí decorrer que v ≤ c , e que só pode ser = c quando as densidades de energia elétrica e magnética são iguais e E → é perpendicular a B → , como numa onda plana. Sugestão: Use a identidade a → × b → 2 + a → ⋅ b → 2 = a 2 b 2 .

Passo 1

Vamos partir do vetor de Poynting:

S → = 1 μ 0 E → × B →

Portanto,

S 2 = 1 μ 0 2 E → × B → 2

Usando a relação sugerida no enunciado:

E → × B → 2 = E 2 B 2 - E → ⋅ B → 2

Portanto,

S 2 = 1 μ 0 2 E 2 B 2 - E → ⋅ B → 2

Passo 2

Mas como estamos definindo S → = U v → , temos que

S 2 = U 2 v 2

Com isso,

U 2 v 2 c 2 = 1 c 2 μ 0 2 E 2 B 2 - E → ⋅ B → 2

Ou ainda,

U 2 - U 2 v 2 c 2 = U 2 - 1 c 2 μ 0 2 E 2 B 2 - E → ⋅ B → 2

Portanto

1 - v 2 c 2 U 2 = U 2 - 1 c 2 μ 0 2 E 2 B 2 - E → ⋅ B → 2

Mas lembre-se que

c 2 = 1 μ 0 ε 0 ⇒ 1 c 2 μ 0 2 = ε 0 μ 0

Além disso,

U = U E + U M

Portanto,

1 - v 2 c 2 U 2 = U E + U M 2 - ε 0 E 2 B 2 μ 0 + ε 0 μ 0 E → ⋅ B → 2

Passo 3

Agora note que

U E = ε 0 E 2 2 ⇒ ε 0 E 2 = 2 U E

U M = B 2 2 μ 0 ⇒ B 2 μ 0 = 2 U M

Portanto,

1 - v 2 c 2 U 2 = U E + U M 2 - 4 U E U M + ε 0 μ 0 E → ⋅ B → 2

Mas

U E + U M 2 - 4 U E U M = U E 2 + 2 U E U M + U M 2 - 4 U E U M = U E 2 - 2 U E U M + U M 2 = U E - U M 2

Logo,

1 - v 2 c 2   U 2 = U E - U M 2 + ε 0 μ 0 E → ⋅ B → 2

Resposta

Demonstração.

Ver Outros Exercícios desse livro