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Enunciado

Física - Eisberg e Resnick - Física quântica- Ed: 1º - Capítulo 13.Problemas - Ex. 18

A – Mostre que o efeito de uma periocidade de rede a sobre potenciais periódicos cujas soluções são funções de Bloch é modular a solução de elétron livre de forma que ψ x + a = ψ x e i k a .

B – Mostre que e i k a = - 1 nos limites da zona de Brillouin. Comente o significado desse resultado.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!!

A - As funções próprias de Bloch de um potencial periódico em uma dimensão x são

ψ x = u k x e i k x

Aqui, k é o número de onda e u k ( x ) é uma função periódica que modula a viagem do elétron livre sob a forma e i k x

Esta função moduladora satisfaz a condição de contorno periódica de uma rede com periodicidade a:

u k x = u k ( x + a )

Passo 2

Substituindo x + a por x na autofunção de Bloch, e com isso, aplicando a condição de fronteira para u k ( x ) (Calma, não vamos usar EDP)

ψ x + a = u k x + a e i k ( x + a )

Desenvolvendo essa relação, temos que

ψ x + a = u k x e i k x + i k a

Usando as propriedades das exponenciais, temos o seguinte resultado

ψ x + a = u k x e i k x e i k a

Com isso, temos que

ψ x + a = ψ x e i k a

Portanto, uma rede com periodicidade a modula a solução de elétrons livres de modo que

ψ x + a = ψ x e i k a

Passo 3

B - Os limites da zona de Brillouin estão localizados nos valores k de

k =   ± π a

Substituindo estes valores de k, na parte do elétron livre viajando da autofunção de Bloch

e i ± π a a = e ± i π

Com isso, usando a relação de Euler temos que

e i k a   =   - 1

Fisicamente, isso é responsável pela reflexão de Bragg de um elétron viajante quando ele encontra a barreira de potencial periódica na borda de poços individuais.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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