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Enunciado

Física - Halliday - Vol 4- Ed: 10º - Capítulo 33.Problemas Adicionais - Ex. 109

(a) Mostre que as Eqs. 33-1 e 33-2 satisfazem as equações de onda do Problema 108. (b) Mostre que expressões da forma E = E m f ( k x ± ω t ) e B =   B m f ( k x   ±   ω t ) , em que f ( k x   ±   ω t ) é uma função qualquer, também satisfazem as equações de onda.

Passo 1

E aí meus caros(as)! Bora pra questão 109! Tá quase acabando o capítulo!

Bem! E pra começar... Nesse primeiro item, o que a gente tem que fazer aqui é mostrar que as duas expressões aí, satisfazem as equações de onda...

E = E m sen ⁡ ( k x ± ω t )

B =   B m sen ⁡ ( k x ± ω t )

E o procedimento é bem simples! Se liga só! O que a gente tem que fazer é derivar duas vezes cada um dos dois lados dessas duas equações em relação a t .

Passo 2

Vamos começar pela equação 33-1. A gente sabe que ele é dada por...

E = E m sen ⁡ ( k x ± ω t )

Tirando a segunda derivada em t dos dois lados:

∂ 2 E ∂ t 2 = ∂ 2 ∂ t 2 E m sen ⁡ ( k x ± ω t )

∂ 2 E ∂ t 2 = - ω 2 E m sen ⁡ ( k x ± ω t )

E depois, tirando a segunda derivada da 33-1 em x dos dois lados:

∂ 2 E ∂ x 2 = ∂ 2 ∂ x 2 E m sen ⁡ ( k x ± ω t )

Multiplicando ambos os lados por c 2 :

c 2 ∂ 2 E ∂ x 2 = c 2 ∂ 2 ∂ x 2 E m sen ⁡ ( k x ± ω t ) = - k 2 c 2 E m sen ⁡ ( k x ± ω t )

Como ω = k c :

c 2 ∂ 2 E ∂ x 2 = - ω 2 E m sen ⁡ ( k x ± ω t )

Logo, com base nisso, temos que a seguinte equação vai ser satisfeita:

∂ 2 E ∂ t 2 = c 2 ∂ 2 E ∂ x 2

Passo 3

Em seguida, vamos pra equação 33-2, que é dada por...

B = B m sen ⁡ ( k x ± ω t )

Tirando a segunda derivada em t dos dois lados:

∂ 2 B ∂ t 2 = ∂ 2 ∂ t 2 B m sen ⁡ ( k x ± ω t )

∂ 2 B ∂ t 2 = - ω 2 E m sen ⁡ ( k x ± ω t )

E depois, tirando a segunda derivada da 33-2 em x dos dois lados:

∂ 2 B ∂ x 2 = ∂ 2 ∂ x 2 B m sen ⁡ ( k x ± ω t )

Multiplicando ambos os lados por c 2 :

c 2 ∂ 2 B ∂ x 2 = c 2 ∂ 2 ∂ x 2 B m sen ⁡ ( k x ± ω t ) = - k 2 c 2 B m sen ⁡ ( k x ± ω t )

Como ω = k c :

c 2 ∂ 2 B ∂ x 2 = - ω 2 B m sen ⁡ ( k x ± ω t )

Então, podemos concluir que...

∂ 2 B ∂ t 2 = c 2 ∂ 2 B ∂ x 2

E assim, as duas equações de onda serão satisfeitas!

Passo 4

b) Agora, a gente tem que mostrar que essas expressões aqui satisfazem as equações de onda:

E = E m f k x ± ω t

B = B m f ( k x ± ω t )

Vamos começar com E !

Bom! A primeira coisa a se fazer, é tirar a segunda derivada em t em ambos os lados...

∂ 2 E ∂ t 2 = E m ∂ 2 f ( k x ± ω t ) ∂ t 2 = ω 2 E m d 2 f d k x ± ω t 2

E depois a segunda derivada parcial em x pros dois lados novamente:

∂ 2 E ∂ x 2 = E m ∂ 2 f ( k x ± ω t ) ∂ x 2

Multiplicando os dois lados por c 2 :

∂ 2 E ∂ x 2 = E m ∂ 2 f ( k x ± ω t ) ∂ x 2

c 2 ∂ 2 E ∂ x 2 = c 2 E m ∂ 2 f ( k x ± ω t ) ∂ x 2 = c 2 k 2 E m d 2 f d k x ± ω t 2

Como ω = c k :

c 2 ∂ 2 E ∂ x 2 = ω 2 E m d 2 f d k x ± ω t 2

Logo, podemos concluir que...

∂ 2 E ∂ t 2 = c 2 ∂ 2 E ∂ x 2

Passo 5

Pra finalizar, vamos repetir o mesmo procedimento com... B = B m f ( k x ± ω t )

Tirando a segunda derivada em t dos dois lados...

∂ 2 B ∂ t 2 = E m ∂ 2 f ( k x ± ω t ) ∂ t 2 = ω 2 E m d 2 f d k x ± ω t 2

E depois a segunda derivada parcial em x pros dois lados novamente:

∂ 2 B ∂ x 2 = B m ∂ 2 f ( k x ± ω t ) ∂ x 2

Multiplicando os dois lados por c 2 :

∂ 2 B ∂ x 2 = B m ∂ 2 f ( k x ± ω t ) ∂ x 2

c 2 ∂ 2 B ∂ x 2 = c 2 B m ∂ 2 f ( k x ± ω t ) ∂ x 2 = c 2 k 2 B m d 2 f d k x ± ω t 2

Como ω = c k :

c 2 ∂ 2 B ∂ x 2 = ω 2 B m d 2 f d k x ± ω t 2

Então...

∂ 2 B ∂ t 2 = c 2 ∂ 2 B ∂ x 2

E assim, podemos concluir que E e B , assim como na letra ( a ) , vão satisfazer as equações de onda!

Resposta

a)

∂ 2 E ∂ t 2 = c 2 ∂ 2 E ∂ x 2

∂ 2 B ∂ t 2 = c 2 ∂ 2 B ∂ x 2

b)

∂ 2 E ∂ t 2 = c 2 ∂ 2 E ∂ x 2

∂ 2 B ∂ t 2 = c 2 ∂ 2 B ∂ x 2

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