Mostre, na fig. 7.36 , que as acelerações dos corpos, com

P = g m 1 m 2 + m 1 m 3 + m 2 m 3

São:

(a)

a 1 = 4 m 2 m 3 P ,

a 2 = m 1 m 3 - m 1 m 2 - 4 m 2 m 3 P ,

a 3 = m 1 m 3 - m 1 m 2 + 4 m 2 m 3 P ,

(b)

a 1 = 4 m 2 m 3 - m 1 m 2 - m 1 m 3 P ,

a 2 = 3 m 1 m 3 - m 1 m 2 - 4 m 2 m 3 P ,

a 3 = m 1 m 3 - 3 m 1 m 2 + 4 m 2 m 3 P ,

Passo 1

E aí, beleza?? Primeiramente vamos escrever a segunda lei de Newton para os três corpos. Seja T a tração no fio ligado ao corpo 1 , a tração no fio ligado aos outros corpos será 2 T . Portanto:

T = m 1 a 1

Ao analisar os outros dois corpos no referencial da polia (que acelera para baixo com a 1 ), temos:

2 T + m 2 a 1 - m 2 g = m 2 a ' 2

m 3 g - m 3 a 1 - 2 T = m 3 a ' 3

Ou, ainda:

2 T - m 2 g = m 2 ( a ' 2 - a 1 )

m 3 g - 2 T = m 3 a ' 3 + a 1

Note ainda que a ' 2 = a ' 3 = a , pois foram definidas de modo que são medidas no referencial da polia.

Passo 2

Assim, temos o seguinte sistema:

T = m 1 a 1

2 T - m 2 g = m 2 ( a - a 1 )

m 3 g - 2 T = m 3 a + a 1

Podemos resolver para as acelerações substituindo T :

2 m 1 a 1 - m 2 g = m 2 a - a 1

m 3 g - 2 m 1 a 1 = m 3 a + a 1

Portanto, resolvendo para as acelerações, podemos encontrar:

a 1 = 4 m 2 m 3 g   P

a = m 1 m 3 - m 1 m 2 g P

Assim:

a 2 = a - a 1

a 3 = a + a 1

Portanto:

a 1 = 4 m 2 m 3 P ,

a 2 = m 1 m 3 - m 1 m 2 - 4 m 2 m 3 P

a 3 = m 1 m 3 - m 1 m 2 + 4 m 2 m 3 P

Passo 3

Analogamente, para o item (b), podemos escrever as equações:

T - m 1 g = m 1 a 1

2 T - m 2 g = m 2 ( a - a 1 )

m 3 g - 2 T = m 3 a + a 1

Portanto, ao substituir a tração, chegamos no seguinte sistema:

2 m 1 a 1 + g - m 2 g = m 2 a - a 1

m 3 g - 2 m 1 a 1 + g = m 3 a + a 1

Que, ao resolvermos, encontramos:

a 1 = 4 m 2 m 3 - m 1 m 2 - m 1 m 3 P

a = 2 m 1 m 3 - 2 m 1 m 2 P

Assim, para as três acelerações, temos:

a 2 = a - a 1

a 3 = a + a 1

Portanto:

a 1 = 4 m 2 m 3 - m 1 m 2 - m 1 m 3 P ,

a 2 = 3 m 1 m 3 - m 1 m 2 - 4 m 2 m 3 P ,

a 3 = m 1 m 3 - 3 m 1 m 2 + 4 m 2 m 3 P ,

Como queríamos demonstrar.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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