Mostre por substituição direta na equação de Schroedinger que a função de onda

Ψ x , t = ψ x   e - i E t / ℏ

satisfaz à equação se a autofunção ψ x satisfaz à equação de Schroedinger independente do tempo para um potencial V x .

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

Vamos partir da equação de Schroedinger:

- ℏ 2 2 m ∂ 2   Ψ ∂ x 2 + V x   Ψ = i ℏ ∂ Ψ ∂ t

Substituindo Ψ x , t = ψ x   e - i E t / ℏ , temos

∂ 2   Ψ ∂ x 2 = d 2 ψ d x 2   e - i E t / ℏ

i ℏ ∂ Ψ ∂ t = i ℏ ⋅ - i E ℏ   ψ   e - i E t ℏ = E   ψ   e - i E t / ℏ

Desta forma, a equação de Schroedinger fica

- ℏ 2 2 m ⋅ d 2 ψ d x 2   e - i E t ℏ + V x   ψ x   e - i E t / ℏ = E   ψ   e - i E t / ℏ

Passo 2

Com isso, podemos simplificar o fator e - i E t / ℏ que aparece em todos os termos, de modo que

- ℏ 2 2 m ⋅ d 2 ψ d x 2 + V x   ψ x = E   ψ

Essa é precisamente a equação independente do tempo associada ao potencial V x cuja solução é a autofunção ψ x . Isso demonstra o que foi pedido!

Resposta

Demonstração.

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