Use os resultados dos exemplos 5-5, 5-6 e 5-7 para calcular a probabilidade de encontrar uma partícula, no estado de menor energia de um oscilador harmônico simples quântico, entre os limites clássicos do movimento.

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

No exemplo 5-7 foi encontrada a função de onda normalizada para o estado fundamental do oscilador harmônico simples:

ψ x ,   t = C m 1 / 8 π ℏ 1 / 4   e - C m 2 ℏ   x 2   e - i 2 C m   t

Para calcular a probabilidade, precisamos primeiro da densidade de probabilidade dada por

ψ x , t 2 = C m 1 / 4 π ℏ 1 / 2   e - C m ℏ   x 2

O termo temporal sumiu pois

a 2 = a ⋅ a *           e             e i k ⋅ e i k * = e i k   e - i k = 1

Assim, a probabilidade pedida vai ser dada pela integral

P = ∫ x 1 x 2 ψ x , t 2   d x

Passo 2

Os limites de integração foram obtidos no item (c) do problema 3:

x 1 = - ℏ 1 / 2 C m 1 / 4             e             x 2 = ℏ 1 / 2 C m 1 / 4

Assim,

P = C m 1 / 4 π ℏ 1 / 2 ∫ - a a e - C m ℏ   x 2   d x ,           a = ℏ 1 / 2 C m 1 / 4

Vamos definir uma variável:

y 2 = C m ℏ   x 2 → y = C m 1 / 4 ℏ 1 / 2   x = x a → x = a y

Assim, temos

d x = a   d y

Quando x = a , temos y = 1 . Já para x = - a , temos y = - 1 . Portanto, a integral fica:

P = C m 1 / 4 π ℏ 1 / 2   ∫ - 1 1 e - y 2   a   d y = 1 π ⋅ C m 1 / 4 ℏ 1 / 2 ⋅ ℏ 1 / 2 C m 1 / 4 ∫ - 1 1 e - y 2   d y

Ou ainda,

P = 1 π ∫ - 1 1 e - y 2   d y

Viu que lindo? Eliminamos completamente todas as constantes físicas!

Passo 3

Já vou adiantar para você que é impossível calcular a integral na mão! Vamos usar o WOLFRAM para resolver o problema...

O que você precisa digitar é

Fazendo isso, ele retorna

Portanto, a probabilidade pedida é

P = 0,842701

Resposta

P = 0,842701

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