Por que é necessário utilizar um operador diferencial no cálculo do valor esperado de p ?

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

No começo do capítulo do livro é dada uma ideia intuitiva do porquê a equação de Schroedinger é como é. Um dos motivos é que para situações em o momento da partícula é constante, a função de onda deve ser do tipo onda senoidal:

ψ x , t = A sen ⁡ 2 π λ x - 2 π ν t

Isso está diretamente ligado ao postulado de de Broglie da dualidade onda-partícula, isto é, da relação

p = h λ

Passo 2

Se derivarmos a função de onda com relação a x , obtemos

∂ ψ ∂ x = 2 π λ A cos ⁡ 2 π λ x - 2 π ν t

Repare que podemos fazer a identificação

∂ ∂ x → 1 λ → p

Tomando a segunda derivada, temos

∂ 2 ψ ∂ x 2 = - 2 π λ 2 ψ

Assim, podemos identificar

∂ 2 ∂ x 2 → 1 λ 2 → p 2

É fazendo esse tipo de identificação que verificamos a aparição de operadores diferenciais para representar as grandezas físicas observáveis! A identificação é feita a partir do postulado de de Broglie.

Resposta

Por causa do postulado de de Broglie.

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