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Enunciado

Física - Griffiths - Mecânica Quântica- Ed: 2º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 17 b

Nesse problema exploramos alguns dos teoremas (utilizados sem prova) mais úteis que envolvem os polinômios de Hermite.

b) A relação de recursão dá H n + 1   em termos dos dois polinômios de Hermite precedentes:

H n + 1 ξ = 2 ξ H n ξ - 2 n H n - 1 ( ξ )

Use-a, juntamente com a resposta de (a), para obter H 5 e H 6 .

Passo 1

Vamos usar primeiramente H 3 e H 4 para determinar H 5 :

H 5 = 2 ξ H 4 - 2 ∙ 4   H 3

H 5 = 2 ξ 16 ξ 4 - 48 ξ 2 + 12 - 8 8 ξ 3 - 12 ξ

Ou seja:

H 5 ( ξ ) = 32 ξ 5 - 160 ξ 3 + 120 ξ

Passo 2

Agora, usando H 4 e H 5 para obter H 6 :

H 6 = 2 ξ H 5 - 2 ∙ 5 H 4

H 6 = 2 ξ 32 ξ 5 - 160 ξ 3 + 120 ξ - 10 16 ξ 4 - 48 ξ 2 + 12

Portanto, desenvolvendo os termos, chegamos em:

H 6 ( ξ ) = 64 ξ 6 - 480 ξ 4 + 720 ξ 2 - 120

Resposta

H 5 ( ξ ) = 32 ξ 5 - 160 ξ 3 + 120 ξ

H 6 ( ξ ) = 64 ξ 6 - 480 ξ 4 + 720 ξ 2 - 120

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