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Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 18.1 - Ex. 61

Neste problema, 1 mol de um gás ideal diatômico é aquecido, a volume constante, de 300K a 600K.

  1. Determine o aumento da energia interna do gás, o trabalho realizado pelo gás e o calor por ele absorvido;
  2. Determine as mesmas quantidades para quando o gás é aquecido de 300 K a 600K à pressão constante. Use a primeira lei da termodinâmica e seus resultados da Parte (a) para calcular o trabalho realizado pelo gás;
  3. Calcule novamente o trabalho na Parte (b), agora integrando a equação d W = P d V .

Passo 1

a) Muito bem, queremos a variação da energia interna do gás quando ocorre este aumento de temperatura, de 300K a 600K.

E para isso nós temos que usar uma fórmula

∆ E i n t = g 2 n R ∆ T

Onde o g se refere aos graus de liberdade da molécula. Como ela é diatômica, g = 5 :

∆ E i n t = 5 2 n R ∆ T

Do enunciado temos que

n = 1   m o l

R = 8,314 J m o l . K

∆ T = 600 K - 300 K = 300   K

Então:

∆ E i n t = 5 2 1   m o l 8,314 J m o l . K 300   K = 6,24   k J

Próximo passo, calcular o trabalho! Como o volume não muda (fica constante), podemos afirmar que o trabalho é nulo

W = 0

Falta achar somente o calor absorvido por ele. E para isso vamos usar a primeira lei da termodinâmica:

∆ E i n t = Q a b s o r v i d o + W s o b r e   o   g á s

Substituímos o que temos para Δ E i n t e W :

6,24 = Q a b s o r v i d o + 0

Q a b s o r v i d o = 6,24   k J

Passo 2

b) Na letra b queremos as mesmas coisas que a letra a. Só que aqui temos o volume variando e pressão constante. Como a variação da temperatura é a mesma:

∆ T = 600 K - 300 K = 300   K

A energia interna também será

∆ E i n t = 5 2 n R ∆ T

∆ E i n t = 6,24   k J

Para calcular o calor cedido ao sistema à pressão constante, nós podemos utilizar a fórmula da capacidade térmica à pressão constante

C p = Q a b s o r v i d o Δ T → Q a b s o r v i d o = C P Δ T

Sendo que para um gás ideal diatômico

C p - C V = n R → C p = n R + C V

C V = 5 2 n R

Substituindo essa expressão na expressão logo acima:

C p = n R + 5 2 n R = 7 2 n R

E susbtituindo na expressão do calor

Q a b s o r v i d o = C P Δ T

Q a b s o r v i d o = 7 2 n R ∆ T

Como g = 5 :

Q a b s o r v i d o = 7 2 n R . ∆ T

Substituindo os demais valores:

Q a b s o r v i d o = 7 2 1   m o l 8,314 J m o l . K 300   K = 8,73   k J

Só precisamos achar o trabalho, já que aqui ele é diferente de zero. Usaremos a mesma relação que usamos no passo 1:

∆ E i n t = Q a b s o r v i d o + W s o b r e   o   g á s

Jogamos nossos resultados na fórmula:

6,24   k J = 8,73   k J + W s o b r e   o   g á s

W s o b r e   o   g á s = - 2,49   k J

Esse é o trabalho realizado sobre o gás, o trabalho realizado pelo gás tem o mesmo valor mas tem sinal inverso:

W p e l o   o   g á s = 2,49   k J

Fim da letra b! E seguimos para a c.

Passo 3

c) Falta somente a letra c, que deseja o cálculo do trabalho por meio da integral da fórmula:

d W = P d V

Integrando

W = ∫ V 1 V 2 P d V

Integramos a direita de V 1 a V 2 porque queremos o trabalho realizado quando o volume sai de V 1 e vai para V 2 .

Se a pressão é constante:

W = P . V 2 - V 1 = P V 2 - P V 1

Não temos nenhuma relação quanto ao volume no enunciado, então precisamos manipular nossa equação. Para isso podemos usar a relação para os gases:

P V = n R T → V = n R T P

Para o ponto inicial:

V 1 = n R T 1 P

Para o ponto final:

V 2 = n R T 2 P

Na fórmula do trabalho:

W = n R T 2 - T 1 = n R . ∆ T

Agora sim! Substituímos:

W = 1   m o l 8,314 J m o l . K 300   K = 2,49   k J

Resposta

  1. ∆ E i n t = 6,24   k J   |   W p e l o   g á s = 0   | Q a b s o r v i d o = 6,24   k J ;  
  2. ∆ E i n t = 6,24   k J   |   W p e l o   g á s = 2,49   k J   | Q a b s o r v i d o = 8,73   k J ;
  3. W p e l o   g á s = 2,49   k J
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