Obtenha a expressão de V 1 ∙ ( V 2 × V 3 ) na forma de determinante. Deduza, a partir

dela, as seguintes propriedades de simetria:

V 1 ∙ V 2 × V 3 = V 3 ∙ V 1 × V 2 = V 2 ∙ ( V 3 × V 1 )

Prove que o valor do triplo produto é igual ao volume do paralelepípedo formado pelos

três vetores.

Passo 1

E aí, beleza?? Nessa questão vamos fazer bastante conta, então bora começar! Primeiramente, vamos encontrar o vetor V 2 → × V 3 → em função de suas componentes:

V 2 → × V 3 → = det ⁡ u x u y u z V 2 x V 2 y V 2 z V 3 x V 3 y V 3 z

V 2 → × V 3 → = V 2 y V 3 z - V 3 y V 2 z u x + V 2 z V 3 x - V 3 z V 2 x u y + V 2 x V 3 y - V 3 x V 2 y u z

Passo 2

Agora, vamos multiplicar escalarmente por V 1 → :

V 1 → ∙ V 2 → × V 3 → = V 1 x V 2 y V 3 z - V 3 y V 2 z + V 1 y V 2 z V 3 x - V 3 z V 2 x + V 1 z V 2 x V 3 y - V 3 x V 2 y

Perceba que esse produto pode ser reescrito como:

V 1 → ∙ V 2 → × V 3 → = V 1 x V 2 y V 2 z V 3 y V 3 z + V 1 y V 2 x V 2 z V 3 x V 3 z + V 1 z V 2 x V 2 z V 3 x V 3 z

Que, pela regra de Laplace, pode ser reduzida a:

V 1 → ∙ V 2 → × V 3 → = det ⁡ V 1 x V 1 y V 1 z V 2 x V 2 y V 2 z V 3 x V 3 y V 3 z

Passo 3

Dessa maneira, podemos permutar linhas duas a duas, chegando em:

det ⁡ V 1 x V 1 y V 1 z V 2 x V 2 y V 2 z V 3 x V 3 y V 3 z = det ⁡ V 3 x V 3 y V 3 z V 1 x V 1 y V 1 z V 2 x V 2 y V 2 z = det ⁡ V 2 x V 2 y V 2 z V 3 x V 3 y V 3 z V 1 x V 1 y V 1 z

Portanto:

V 1 → ∙ V 2 → × V 3 → = V 3 → ∙ V 1 → × V 2 → = V 2 → ∙ V 3 → × V 1 →

Como queríamos demonstrar.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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