Uma onda senoidal movendo-se numa direção x negativa (para a esquerda) tem amplitude de 20,0 cm, comprimento de onda de 35,0 cm, e frequência de 12,00 Hz. A posição transversal de um elemento do meio em t = 0, x = 0 é y = –3,00 cm, e o elemento, aqui, tem uma velocidade positiva. Queremos encontrar uma expressão para a função de onda que a descreva. (a) Esboce a onda em t = 0. (b) Encontre o número angular da onda k a partir do comprimento de onda. (c) Encontre o período t a partir da frequência. Encontre (d) a frequência angular w (e) a velocidade da onda v. (f) A partir das informações sobre t = 0, encontre a constante de fase ϕ . (g) Escreva uma expressão para a função de onda y(x,t).

Passo 1

Ótimo, partindo para o próximo. A velocidade (v) da onda a gente calcula por meio daquela fórmula bem clássica, sabe?

v = λ f

Ela é o produto do comprimento de onda ( λ ) pela frequência ( f ), e a gente já sabe quem são esses caras. Bora substituir os valores, então:

v = 35 ⋅ 10 - 2 ⋅ 12 = 4,2   m / s

Passo 2

E essa constante de fase, como calcula isso? Cara, dá só uma olhada na seguinte equação:

y ( x , t ) = A ⋅ s e n ( k x + ω t + ϕ )

Não assusta com esse tanto de letras! Todo mundo aí a gente já conhece, se liga:

y → p o s i ç ã o   v e r t i c a l   d e   u m   p o n t o   d a   o n d a

A → A m p l i t u d e

k → n ú m e r o   d e   o n d a

x → p o s i ç ã o   h o r i z o n t a l   d e   u m   p o n t o   d a   o n d a

ω → f r e q u ê n c i a   a n g u l a r

t → i n s t a n t e   d e   t e m p o

ϕ → c o n s t a n t e   d e   f a s e

Então, se a gente substituir os valores que já conhecemos, é só resolver para ϕ que encontramos a constante. Bora lá, lembrando que queremos considerar tudo quando t = 0.

y 0,0 = - 3 ⋅ 10 - 2 = 35 ⋅ 10 - 2 ⋅ s e n 17,95 ⋅ 0 + 75,39 ⋅ 0 + ϕ

s e n ϕ = - 3 35 = -   0,086

E ϕ será o ângulo cujo seno vale – 0,086, ou seja, queremos o arcsen( - 0,086 ). Olha que interessante, existe uma propriedade que diz que quando olhamos para um ângulo muito pequeno, seu seno é igual ao próprio ângulo. De fato, se jogarmos em uma calculadora, vemos que:

ϕ = a r c s e n   - 0,086 = - 0,086   r a d = - 4,93 °

Passo 3

Pra finalizar, podemos utilizar essa mesma equação:

y ( x , t ) = A ⋅ s e n ( k x + ω t + ϕ )

Para escrever a função de onda, basta substituir todos os valores que já encontramos e deixar em função de x e t.

y x , t = 0,2 ⋅ s e n ( 17,95 x + 75,39 t - 4,9 )

Resposta

  1. v = 4,2   m / s
  2. ϕ = - 4,93 °
  3. y x , t = 0,2 ⋅ s e n ( 17,95 x + 75,39 t - 4,9 )
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