Enunciado
Física - Príncipios de física - Serway - Princípios De Física: Oscilações, Ondas e Termodinâmica- Ed: 5º - Capítulo 13.Problemas - Ex. 4
Uma onda transversal senoidal em uma corda tem um período T = 25,0 ms e se move na direção x negativa com uma velocidade de 30,0 m/s. Em t = 0, um elemento da corda em x = 0 tem uma posição transversal de 2,00 cm e está se movendo para baixo com uma velocidade de 2,00 m/s. (a) Qual é a amplitude da onda? (b) Qual é o ângulo de fase inicial? (c) Qual é a velocidade transversal máxima de um elemento da corda? (d) Escreva a função de onda para a onda.
Passo 1
Fala aí! Vamos começar essa aqui relembrando algumas equações que podem ser úteis pra gente. Se liga, a principal vai ser essa aqui, que é a equação da função de onda:
Onde:
Além disso, também podemos usar as seguintes:
Onde:
Bastante informação, né? Mas não se assusta, agora é só identificar quais desses caras foram dados pelo enunciado e jogar tudo nas fórmulas. Bora lá, então.
Passo 2
Repara nisso aqui, o enunciado nos contou que em t = 0, um elemento da corda em x = 0 tem uma posição transversal de 2,00 cm, ou 0,02 m. Em outras palavras, isso nos informa a posição vertical de um ponto da onda (y) no ponto (0,0). Percebeu como vamos usar isso? Vamos jogar lá naquela primeira equação.
Se substituirmos x = 0 e t = 0, vamos obter o seguinte:
E chegamos em:
Agora, a gente precisa encontrar quem é esse , para encontrar a amplitude. Olha só como vamos fazer isso, se derivarmos a equação inicial em relação a t por meio da regra da cadeia, teremos isso aqui:
E agora? Bom, repare nessa informação dada pelo enunciado aqui: em t = 0, um elemento da corda em x = 0 está se movendo para baixo com uma velocidade de 2,00 m/s. Cara, quando fazemos , obtemos uma fração de espaço sobre tempo, também conhecida como velocidade! Quer dizer que podemos igualar esse cara, no ponto (0,0), ao valor de -2 m/s (negativo porque o elemento se move para baixo, beleza?).
Maravilha! Agora vamos dividir por pra ver no que dá:
Mas é dividido pelo período, né? E o período foi dado pelo enunciado (), então:
Voltamos na equação anterior, então:
Assim, é o ângulo cuja tangente vale , ou seja:
Ah, perceba uma coisa, se andarmos no círculo trigonométrico uma distância equivalente a 1,19 rad no sentido negativo, é a mesma coisa que andarmos uma distância de rad no sentido positivo.
Finalmente, podemos encontrar o valor da amplitude:
Passo 3
Ufa! O mais difícil já passou, agora todo o resto se encaixa. Se liga, o ângulo de fase inicial também é conhecido como a constante de fase, e esse cara a gente já encontrou! Vamos partir para a velocidade agora, lembra quando eu falei que quando fazemos a derivada encontramos um valor de velocidade? É isso que queremos aqui.
Perceba uma coisa, a função cosseno é limitada entre -1 e 1, certo? Isso quer dizer que a velocidade transversal máxima de um elemento da corda existirá quando esse cara valer 1, ou seja, podemos simplesmente ignorar tudo aquilo dentro dos parênteses ali.
Passo 4
Pra finalizar, vamos escrever a função de onda, que é dada por:
O único valor que falta é esse k, né? Bora lá encontrar, assim:
Agora é só substituir tudo na outra equação.