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Enunciado

Física - Griffiths - Mecânica Quântica- Ed: 2º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 22 ab

O pacote de onda gaussiano. Uma partícula livre tem como função de onda inicial:

Ψ x , 0 = A e - a x 2

Em que A e a são constantes ( a é real e positivo).

  1. Normaliza Ψ x , 0 .

b) Calcule Ψ ( x , t ) . Dica: pode-se lidar com integrais da forma:

∫ - ∞ + ∞ e - a x 2 + b x d x

‘completando o quadrado’: tome y = a   x + b / 2 a , e observe que

a x 2 + b x = y 2 - b 2 / 4 a

Passo 1

Fala aí, beleza? Essa questão vai seguir o mesmo espírito da questão anterior. Dessa maneira, vamos às contas:

Para o item a), basta normalizar:

A 2 ∫ - ∞ ∞ e - 2 a x 2 d x = 1

Logo, chegamos em:

A 2   π 2 a = 1 ∴ A = 2 a π 1 4

Passo 2

Para o item b), teremos primeiro que calcular a função ϕ ( k ) :

ϕ k = 1 2 π   2 a π 1 4   ∫ - ∞ ∞ e - a x 2     e - i k x d x

Fatorando o numerador da exponencial, como sugere a dica, ficamos com:

ϕ k = 1 2 π   2 a π 1 4   e - k 2 4 a 2   ∫ - ∞ ∞ e - a   x + k 2 a 2   d x

Assim, caímos em uma integral gaussiana. Desse modo, vem:

ϕ k = 1 2 π   2 a π 1 4   e - k 2 4 a 2     π a

Que, simplificando, obtemos:

ϕ k = 1 2 a π 1 4   e - k 2 4 a

Passo 3

Agora, em posso de ϕ ( k ) , podemos obter a função de onda:

Ψ x , t = 1 2 π 1 2 a π 1 4   ∫ - ∞ ∞ e - k 2 4 a     e i k x - ℏ k 2 2 m   t   d k

Que pode ser reescrita da maneira:

Ψ x , t = 1 2 π 1 2 a π 1 4   ∫ - ∞ ∞ e - 1 4 a   +   i ℏ t 2 m k 2 - i x k   d k

Aproveitando o resultado desse tipo de integral, já obtido no passo anterior, chegamos em:

Ψ x , t = 2 a π 1 4 e - a x 2 1 + 2 i ℏ a / m 1 + 2 i ℏ a t / m

Resposta

a ) A = 2 a π 1 4

b ) Ψ ( x , t ) = 2 a π 1 4 e - a x 2 1 + 2 i ℏ a / m 1 + 2 i ℏ a t / m

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