Enunciado
Física - Griffiths - Mecânica Quântica- Ed: 2º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 22 de
O pacote de onda gaussiano. Uma partícula livre tem como função de onda inicial:
Em que e são constantes ( é real e positivo).
d) Calcule , , , e . Resposta parcial: , porém, pode ser necessário o uso de um pouco de álgebra para reduzi-lo à forma simples.
e) O princípio da incerteza se mantém válido? A que tempo o sistema chega próximo do limite da incerteza?
Passo 1
Para o item d) vamos, mais uma vez, fazer conta pra caramba! Então, sem muito papo, vamos aos cálculos:
O valor esperado de é dado por:
Mas, como vimos no item anterior, a densidade de probabilidade é uma função par. Portanto, o integrando dessa integral é uma função ímpar. Portanto:
E, de maneira direta, como já vimos que está relacionado com a derivada de , vem que:
Passo 2
Vamos calcular agora :
Que é uma integral Gaussiana tabelada. Portanto, ficamos com:
Passo 3
Esse é o passo que vai nos pedir mais cuidado. Vamos às contas para determinar:
Vamos escrever a função de onda como: para simplificar nossa vida. Assim, vem:
Logo:
Portanto, ao multiplicarmos pela função de onda conjugada, ficamos com:
Como e , temos:
O valor esperado de então toma a forma:
Separando as integrais e resolvendo-as, já que são integrais gaussianas, temos:
Vamos, por vim, calcular o termo entre os parênteses:
Mas perceba que podemos reescrever esse resultado como:
Portanto:
Dessa maneira, o valor esperado do momento quadrático é:
Passo 4
Para o item e), vamos calcular os desvios padrões:
Assim, o produto fica:
Note que a incerteza o produto é mínimo em .