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Enunciado

Física - Príncipios de física - Serway - Princípios De Física: Oscilações, Ondas e Termodinâmica- Ed: 5º - Capítulo 13.Problemas - Ex. 40

Os pais, à espera do filho, estão entusiasmados para escutar os batimentos cardíacos do bebê, revelados por um detector de ultrassom que produz bips de som audível em sincronia com os batimentos cardíacos fetais. Suponha que a parede ventricular do feto se move em movimento harmônico simples com amplitude de 1,80 mm e frequência de 115 batimentos por minuto. (a) Encontre a velocidade linear máxima da parede do coração. Suponha que uma fonte montada no detector em contato com o abdômen da mãe produz um som de 2 000 000,0 Hz, que viaja através do tecido a 1,50 km/s. (b) Encontre a variação máxima da frequência entre o som que chega à parede do coração do bebê e do emitido pela fonte. (c) Encontre a variação máxima da frequência entre o som refletido recebido pelo detector e o emitido pela fonte

Passo 1

Fala galerinha, tudo bem?

Só vamoo??

O movimento da parede ventricular do feto em movimento harmônico simples pode ser descrito por uma equação do tipo:

y = A s e n ( k x - ω t )

Em que A = 1,80 × 10 - 3   m é a amplitude máxima do movimento , k o número de onda e ω - 2 π f (onde temos que f = 115 min - 1 ⁡ ) a frequência angular da oscilação. A frequência foi fornecida em oscilações por minuto, como 1 min contém 60 segundos, então:

f = 115 60

f ≅ 1,92   H z

Passo 2

  1. A velocidade da parede do coração pode ser obtida derivando a função de posição acima em função do tempo:

    2. v = d y d t

    v = - ω A c o s ( k x - ω t )

    A função cosseno varia no intervalo (-1, 1), logo, o máximo da velocidade ocorre para cosseno igual -1 e, portanto:

    v m á x = ω A

    v m á x = 2 π f ⋅ A

    v m á x = 2 π ⋅ 1,92   H z ⋅ ( 1,80 × 10 - 3   m )

    v m á x ≅ 0,022   m / s

    Passo 3

  2. A frequência f   emitida pela fonte é de       f f o n t e = 2 × 10 6 H z . O som viaja através do tecido do corpo a uma velocidade v s o m = 1,5 × 10 3 m / s . A velocidade máxima do tecido do coração foi calculada no item anterior e é de v m á x = 0,022   m / s . A variação máxima de frequência ∆ f é dada pela diferença entre a frequência máxima f que chega à parede do coração e à frequência   f f o n t e , ou seja:

    3. ∆ f = f ' -   f f o n t e

    A frequência f ' é a frequência efetiva que chega à parede do coração e é calculada em função da velocidade relativa do som e da parede do coração. A máxima variação de frequência ∆ f será observada quando f ' for máximo, o que corresponde ao movimento de aproximação da parede do coração em relação ao abdômen, em que a fonte está localizada, nesse caso:

    f ' = v s o m + v m á x v s o m f F o n t e

    Portanto:

    ∆ f = f ' - f F o n t e

    ∆ f = v s o m + v m á x v s o m f F o n t e - f F o n t e

    ∆ f = v s o m + v m á x v s o m - 1 f F o n t e

    ∆ f = v s o m + v m á x - v s o m v s o m f F o n t e

    ∆ f = v m á x v s o m f F o n t e  

    ∆ f = 0,022 m s 1,5 × 10 3 m s ⋅ 2 × 10 6 H z

    ∆ f = 29,3   H z

    Passo 4

  3. Como o som e refletido recebido pelo detector é o som que foi recebido pela parede do coração e que, portanto, possui frequência real f ' . Nesse caso, é a fonte do sinal (a parede do coração) que está em movimento, portanto, a frequência efetiva f ' ' detectada é dada pela equação:

f ' = f ' v s o m v s o m - v m á x

A variação entre a frequência desse sinal f ' ' e o sinal inicialmente emitido pela fonte f será:

∆ f = f ' -   f f o n t e

∆ f = f ' v s o m v s o m - v m á x - f F o n t e

∆ f = v s o m + v m á x v s o m v s o m v s o m - v m á x f F o n t e - f F o n t e

∆ f = v s o m + v m á x v s o m - v m á x - 1 f F o n t e

∆ f = v s o m + v m á x - v s o m + v m á x v s o m - v m á x f F o n t e  

∆ f = 2 v m á x v s o m - v m á x f F o n t e

∆ f = 2 0,022 m s 1,5 × 10 3 m s - 0,022 m s ⋅ 2 × 10 6 H z

∆ f ≅ 58.67   H z

Resposta

  1. v m á x ≅ 0,022   m / s .
  2. ∆ f = 29,3   H z .
  3. ∆ f ≅ 58.67   H z .
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