Enunciado
Física - Eisberg e Resnick - Física quântica- Ed: 1º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 35
Se a partícula descrita pela função de onda do problema 33 for um próton se movendo em um núcleo, ela dará origem a uma distribuição de carga que oscila no tempo com a mesma frequência das oscilações de sua densidade de probabilidade. (a) Calcule essa frequência para valores de e correspondentes a um próton de massa e dimensões nucleares . (b) Calcule também a frequência e a energia do fóton que seria emitido por essa distribuição de carga oscilante quando o próton passar do estado excitado para o estado fundamental.
Passo 1
Fala galerinha, beleza?
No problema 33, consideramos as autofunções
Por simplicidade, vamos escrever
Daí, construímos , com . A densidade de probabilidade do sistema é dada por
Assim,
É fácil perceber que
Isso ocorre pois
O mesmo vale para . Já para os termos mistos, a história é diferente pois as exponenciais complexas não vão se anular:
Com isso,
Considerando e reais:
Como e , temos , de modo que
Portanto,
com
A densidade de probabilidades oscila harmonicamente com frequência angular . Substituindo as expressões de e :
Lembrando que , temos
Repare que agora temos , não .
Passo 2
No item (b), a frequência que ele pede para acharmos é exatamente a encontrada no item (a). Quando ocorre a transição de um estado de energia para um estado com energia , a energia perdida pelo sistema e emitida pelo fóton é
Considerando , e , temos
Portanto,
Essa radiação da na faixa de raios gama do espectro eletromagnético.