Enunciado
Física - Griffiths - Mecânica Quântica- Ed: 2º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 7 b
Uma partícula em um poço quadrado infinito tem a função de onda inicial
b) Calcule .
Passo 1
Para resolver esse item, precisaremos recorrer ao teorema de Dirichlet, assim como ao truque de Fourier. Desse modo, vamos começar invocando o teorema.
De acordo com o teorema de Dirichlet, podemos escrever a função de onda como:
Assim, para determinarmos a função de onda dependente do tempo, devemos determinar todos os coeficientes . Vale ressaltar que a função é dada por:
Passo 2
Assim, aplicando o truque de Fourier, isto é, multiplicando os dois lados da expressão por , e integrando os dois termos em , com variando entre e , no instante , temos:
Note que devido à ortogonalidade da função de onda, o termo da direita é sempre zero, exceto para o caso em que . Nesse caso, a integral resulta em devido à normalização da função . Assim, podemos determinar o coeficiente :
Passo 3
Resolvendo essas integrais, encontramos:
Basicamente esse resultado é a soma das três integrais envolvidas na equação para . Desenvolvendo essa expressão, podemos chegar em:
Note que para par e que para ímpar
Assim, a função de onda é: