Enunciado
Física - Griffiths - Mecânica Quântica- Ed: 2º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 21
Uma partícula livre tem a seguinte função de onda inicial:
a) Normalize .
b) Calcule .
c) Monte na forma de uma integral.
d) Discuta os casos limites ( muito grande e muito pequeno).
Passo 1
Fala aí, beleza? Nessa questão teremos apenas que aplicar o conceito de normalização e, posteriormente, calculas as funções e como foi mostrado no livro. Dito isso, vamos ao trabalho!
Para o item a), vamos normalizar a função:
Essa integral pode ser resumida com:
Com isso, obtemos rapidamente:
Passo 2
Agora vamos ao item b). Utilizando a equação que determina a função , temos:
Utilizando a fórmula de Euler, podemos reescrever a integral:
Assim, se separarmos as duas integrais, o integrando aquela que envolve a função cosseno é par, enquanto o da que envolve é ímpar, então, como estamos integrando de até , a de integrando ímpar se anula. Dessa maneira:
Ou, ainda:
Essa integral é pode ser resolvida por partes, mas como seu resultado pode também ser facilmente encontrado em tabelas, temos que:
Por fim, fica:
Passo 3
Para o item c) , basta que montemos a integral para a função , utilizando a função :
Ou, mais simplificadamente:
Passo 4
Para finalizar a questão com o item d), vamos analisar o caso em que é grande.
Nessa hipótese, a função seria dada por:
Além de que a função terá um pico acentuado próximo à origem. Dessa maneira, a partícula tende a estar próxima de e, portanto, seu momento é mal definido.
Agora no caso em que é pequeno, a função fica:
Enquanto a função de onda é mais espelhada. Dessa maneira, a posição tende a ser mais indefinida, mas, em contrapartida, o momento tende a ser bem definido.