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Enunciado

Física - Alonso e Finn - Mecânica- Ed: 2º - Capítulo 13.Problemas - Ex. 65

Uma partícula de massa m se move sob a ação uma força atrativa de módulo igual a k / r 2 . Sua velocidade, numa das posições extremas, é k / 2 m r 1 , onde r 1 é a distância do centro da força. Calcule a distância r 2 correspondente à outra posição extrema, o semieixo maior da órbita e a excentricidade.

Passo 1

E aí, beleza?? A energia da órbita é dada por:

E = 1 2 m v 2 - k r

Portanto:

E = 1 2 m k 2 m r 1 - k r 1 = k 4 r 1 - k r 1

Portanto:

E = - 3 k 4 r 1

E o momento angular:

L = m r 1 v 1 ∴ L = m k r 1 2

Passo 2

Assim, para o semieixo maior da órbita:

- k 2 a = - 3 k 4 r 1 ∴ a = 2 3 r 1

Passo 3

Para outra distância extrema, temos:

L = m r 2 v 2 = m k r 1 2 ∴ v 2 = k r 1 2 m r 2 2

Portanto:

E = 1 2 m v 2 2 - k r 2 = - 3 k 4 r 1

Portanto:

r 1 4 r 2 2 - 1 r 2 = - 3 4 r 1

Assim:

r 1 r 2 2 - 4 r 1 r 2 + 3 = 0

Resolvendo, temos:

r 1 r 2 = 1       ;       r 1 r 2 = 3

Ou seja:

r 2 = r 1         ;         r 2 = r 1 3

Passo 4

Se os raios forem iguais, vem:

r 1 = a - c

r 2 = a + c

Portanto:

r 1 = r 2 ∴ c = 0

Assim:

e = c a = 0

Se tivermos r 2 = r 1 / 3 , vem:

r 1 = a + c

r 1 3 = a - c

Portanto:

2 3 r 1 = 2 c ∴ c = 1 3 r 1

Assim:

e = 1 3 r 1 2 3 r 1 ∴ e = 1 2

Resposta

r 2 = r 1     ;     r 2 = 1 3 r 1

a = 2 3 r 1

e = 0       ;       e = 1 2

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