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Enunciado

Física - Serway e Jewett - Física para cientistas e engenheiros - Vol1 - Ed: 1º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 28b

Uma partícula se move ao longo do eixo x. Sua posição é dada pela equação x   =   2   +   3 t   –   4 t 2 , com x em metros e t em segundos. Determine: 

  1. sua posição quando muda de direção e
  2. sua velocidade quando retorna à posição que tinha em t = 0.

Passo 1

a.Então, você sabe que pra um corpo mudar o sentido do deslocamento ele precisa desacelerar no sentido original, atingir velocidade zero e, daí, retomar o movimento no sentido oposto, certo?

Assim, a gente precisa encontrar o valor de t que faz a função velocidade versus tempo se anular. Só que a gente tem a função posição versus tempo. E aí?

Daí que é simples, porque a função velocidade versus tempo é a derivada da função posição versus tempo. Vamos derivar?

A gente vai ter:

v t = x ' ( t )   =   0   +   3   –   8 t

v t = 3   –   8 t

Certo. Agora, só determinar que valor de t faz v t = 0 . Tranquilo também, fazemos assim:

3 - 8 t = 0

Logo:

8 t = 3

t = 3 8   s

Agora, então, pra achar a posição referente a esse tempo, aplicamos na função original:

x ( 3 / 8 )   =   2   +   3 ∙ 3 / 8   –   4 ∙ 3 / 8 2

∴ x ( 3 / 8 ) = 59 16   m

Passo 2

b.Beleza, pra isso a gente precisa saber primeiro qual era a posição x no instante t = 0 . Pra isso é só aplicar t = 0 na função original do enunciado. A gente vai ter:

x ( 0 )   =   2   +   3 ∙ 0   –   4 ∙ 0 2

x 0 = 2   m

Ok, agora a gente já tem o nosso ∆ S , que seria a distância entre as posições x ( 0 ) e x ( 3 / 8 ) . Com isso, agora a gente vai determinar a aceleração a que a partícula foi submetida quando começou a retornar no sentido oposto do movimento original.

Vamos fazer isso pela fórmula do sorvetão:

S = S 0 + v 0 ∙ t + a ∙ t 2 2

Passo 3

Aqui, S representa a posição final, que no nosso caso é x = 2   m , posição na qual a gente quer determinar a velocidade da partícula;

S 0 vai ser x = 59 16   m , posição onde a velocidade se anulou e o movimento foi retomado no sentido oposto;

v 0 vai valer zero, já que se parte de onde a velocidade era nula;

E t é o tempo que isso levou pra acontecer, que já calculamos, sendo t = 3 8   s .

Vamos aplicar e calcular, passo a passo:

2 = 59 16 + 0 ∙ 3 8 + a ∙ 3 / 8 2 2

2 - 59 16 = a ∙ 9 / 64 2

- 27 16 = 9 a 128

- 3 = a 8

∴ a = - 24   m / s 2

Passo 4

Certo. Com a aceleração da partícula determinada, a gente consegue calcular agora a velocidade na posição x = 2   m pela formulinha do vovô ateu:

V = V 0 + a ∙ t

Aqui, V é o que queremos determinar, V 0 = 0 já que partimos do repouso, a a gente acabou de calcular e t = 3 8 s . Vamos aplicar:

V = 0 + ( - 24 ) ∙ 3 8

∴ V = - 3 ∙ 3 = - 9   m / s

E aqui o sinal é negativo porque a orientação do movimento é oposta à do sentido original, beleza?

Resposta

a. x ( 3 / 8 ) = 59 16   m  

b. V = - 9   m / s

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