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Enunciado

Física - Griffiths - Mecânica Quântica- Ed: 2º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 37

Uma partícula no poço quadrado infinito (Equação 2.19) tem a seguinte função de onda inicial:

Ψ ( x ,   0 ) =   A   s i n 3 ( π x / a ) ,               ( 0 ≤ x ≤ a )

Determine A, calcule Ψ ( x ,   t ) e x (como uma função do tempo). Qual o valor esperado da energia? (Dica: s i n n ( θ ) e c o s n ( θ ) podem ser reduzidos, por repetidas aplicações das fórmulas de somas trigonométricas, para combinações lineares de s i n ( m θ ) e c o s ( m θ ) , com m=0,1,2…n

Passo 1

Vamos usar a identidade trigonométrica s i n ( 3 θ ) =   3   s i n ( θ ) -   4 s i n 3 ( θ ) , para escrever:

s i n 3 π x a =   3 4 s i n π x a -   1 4 s i n 3 π x a

ψ 1 = s i n π x a   e       ψ 2 = s i n 3 π x a

Então a equação 2.28:

ψ ( x ,   0 ) = A a 2 3 4 ψ 1 ( x ) - 1 4 ψ 3 ( x )

Onde ψ 1 ( x )   e   ψ 3 ( x ) estão associados n=1 e n=3.

Passo 2

Para encontrar o valor de A, vamos normalizar ψ ( x ,   0 ) ;

∫ - ∞ ∞ ψ x , 0 2 d x = 1 → A 2 a 2   9 16 + 1 16

  5 16 a   A 2 =   1 ⟹ A =   4 5 a

Adicionando o valor de A, na equação ψ ( x ,   0 ) do passo anterior, com uma álgebra simples chegamos a:

ψ x , 0 = 1 10 3 ψ 1 x - ψ 3 x

Passo 3

Utilizando a equação 2.17, descrita abaixo:

Ψ x , t = ∑ n = 1 ∞ c n ψ n ( x )   e - i E n t / ℏ =   ∑ n = 1 ∞ c n ψ n ( x ,   t )  

Obtemos:

Ψ x , t = 1 10 3 ψ 1 x e - i E 1 t / ℏ - ψ 3 x   e - i E 3 t / ℏ

Sendo E 1   e   E 3 os valores de energia associados aos estados 1 e 3.

Passo 4

Para calcular o valor esperado, usaremos a equação:

x =   ∫ 0 a x   ψ x , t 2   d x

Para isso, vamos calcular primeiramente ψ x , t 2 ;

Ψ x , t 2 = 1 10 3 ψ 1 x e - i E 1 t / ℏ - ψ 3 x   e - i E 3 t / ℏ 2

Ψ x , t 2 = 1 10   9 ψ 1 2 + ψ 3 2   - ψ 1   ψ 3 c o s   E 1 - E 3 ℏ t  

Agora podemos voltar para o valor esperado:

x =   ∫ 0 a x   Ψ x , t 2   d x

= 1 10 ∫ 0 a x     9 ψ 1 2 + ψ 3 2   - ψ 1   ψ 3 c o s   E 1 - E 3 ℏ t   d x  

Tudo que não dependa de x pode sair dessa integral:

x =   1 10   9 x 1 + x 3 - c o s   E 1 - E 3 ℏ t ∫ 0 a x     ψ 1 ( x )     ψ 3 ( x )   d x

onde x n =   a / 2     é o valor esperado de x no estado estacionário n t h . A integral restante é:

2 a ∫ 0 a x     s i n π x a   s i n 3 π x a   d x

=   1 a ∫ 0 a x     c o s 2 π x a   -   c o s 4 π x a   d x

= 1 a   a 2 π 2 c o s 2 π x a + x a 2 π s i n 2 π x a -   a 4 π 2 c o s 4 π x a - x a 4 π s i n 4 π x a 0 a = 0

Aplicando os limites de integração, os termos vão se cancelar ao longo do processo, mas de todo modo é só um pouco de álgebra, e assim obtemos:

x =   9 10 a 2 + 1 10 a 2 = a 2  

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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