Enunciado

Uma partícula no poço quadrado infinito tem como função de onda inicial uma mistura equilibrada dos dois primeiros estados estacionários:

Ψ x , 0 = A ψ 1 x + ψ 2 x

  1. Normalize Ψ x , 0 . (Isto é, calcule A . É muito fácil se você explorar a ortonormalidade de ψ 1 e ψ 2 . Lembre-se de que, tendo normalizado Ψ em t = 0 , você pode ter certeza de que ela permanecerá normalizada. Se tiver dúvidas, verifique-o explicitamente após resolver a parte (b) ).

Passo 1

Fala aí, beleza? Para resolver essa questão vamos explorar a ortonormalidade entre ψ 1 e ψ 2 , como sugere o enunciado. Isso significa que:

∫ 0 a ψ 1 ψ 2   d x =   ∫ 0 a ψ 1   ψ 2 *   d x = ∫ 0 a ψ 1 *   ψ 2   d x = 0

Dessa maneira, nossa vida ficará muito mais fácil!

Passo 2

Normalizando Ψ ( x , 0 ) , temos:

Ψ ( x , 0 ) 2 = A 2 ( ψ 1 2 + ψ 2 2 + ψ 1 *   ψ 2 + ψ 1   ψ 2 * )

Integrando, temos:

∫ 0 a Ψ x , 0 2   d x   = A 2 ∫ 0 a ψ 1 2 + ψ 2 2 + ψ 1 *   ψ 2 + ψ 1   ψ 2 *   d x = 1

Desenvolvendo os termos, temos:

A 2 ∫ 0 a ψ 1 2 d x ⏝ 1 + ∫ 0 a ψ 2 2 d x ⏝ 1 +   ∫ 0 a ψ 1 *   ψ 2   d x ⏝ 0 + ∫ 0 a   ψ 1 ψ 2 *   d x ⏝ 0 = 1

Logo:

2 A 2 = 1 → A = 1 2

Resposta

A = 1 2

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