Enunciado
Física - Griffiths - Mecânica Quântica- Ed: 2º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 5 e
Uma partícula no poço quadrado infinito tem como função de onda inicial uma mistura equilibrada dos dois primeiros estados estacionários:
e) Se você medisse a energia dessa partícula, que valores obteria e qual a probabilidade de obter cada um deles? Calcule o valor esperado de . Qual a diferença entre esses valores e os e ?
Passo 1
Como o estado da partícula é uma combinação linear dos dois primeiros estados estacionários, ela poderá então ter uma das duas energias relativas a cada estado, ou seja, ela pode ter:
Ou então:
E o interessante é que, como na combinação linear os dois estados possuem a mesma constante multiplicativa , ambos os estados possuem a mesma probabilidade de ocorrência, então:
Passo 2
O valor esperado de é:
Sendo , vem que:
Assim, podemos relacionar a expressão do segundo colchete com as energias de cada estado:
Desse modo, vem:
Aplicando a distributiva:
Note que invocamos que as funções de onda de cada estado estavam normalizadas e que as funções de onda dos dois estados são ortogonais! Por conta disso que duas das integrais se anularam...
Então, para finalizar...
E voilà, o valor esperado do Hamiltoniano é a média das energias de cada estado!